Производная Пеано
- 1 year ago
- 0
- 0
Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел , введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано .
Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику , доказать многие свойства натуральных и целых чисел , а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел . В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел .
Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве , отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования . Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.
Математическая формулировка использует , которая сопоставляет числу следующее за ним число.
Возможна и иная форма записи:
Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание верно для (база индукции) и для любого из верности следует верность и (индукционное предположение), то верно для любых натуральных .
Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:
Как следует из теоремы Гёделя о неполноте , существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса — Харрингтона .
Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см. , а также краткое доказательство ), что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны , то есть существует обратимое отображение ( биекция ) такая, что и для всех .
Поэтому достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.
Например, из аксиомы индукции вытекает, что к любому натуральному числу можно перейти от за конечное число шагов (с помощью функции ). Для доказательства выберем в качестве предиката само это утверждение «к числу можно перейти от за конечное число шагов с помощью функции ». Верно . Верно также , поскольку может быть получено из при помощи одного применения операции к числу, которое по предположению может быть получено из за конечное число применений . Согласно аксиоме индукции .
Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана , который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано , основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» ( лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita ). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд . Непротиворечивость арифметики Пеано в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте , это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.