Interested Article - Полнократное число

Полнократное число — положительное целое число , которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя .

Эквивалентное определение: число, представимое в виде a 2 b 3 {\displaystyle a^{2}b^{3}} , где a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} — положительные целые числа ( натуральные числа ).

Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем , наименование дано Соломоном Голомбом .

Список полнократных чисел между 1 и 1000 :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений

Если m = a 2 b 3 {\displaystyle m=a^{2}b^{3}} , то любое простое в разложении a {\displaystyle a} входит дважды, а входящее в b {\displaystyle b} — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении m {\displaystyle m} входит не менее, чем в квадрате .

С другой стороны, пусть m {\displaystyle m} — полнократное число с разложением

m = p i α i {\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}}} ,

где каждое α i 2 {\displaystyle \alpha _{i}\geq 2} . Определим γ i {\displaystyle \gamma _{i}} равным трём, если α i {\displaystyle \alpha _{i}} нечётно, и нулю в противном случае, и определим β i = α i γ i {\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i}} . Тогда все значения β i {\displaystyle \beta _{i}} являются неотрицательными чётными целыми, и все значения γ i {\displaystyle \gamma _{i}} либо равны нулю, либо трём, так что:

m = ( p i β i ) ( p i γ i ) = ( p i β i / 2 ) 2 ( p i γ i / 3 ) 3 {\displaystyle m=(\prod p_{i}^{\beta _{i}})(\prod p_{i}^{\gamma _{i}})=(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}}

даёт искомое представление m {\displaystyle m} , как произведение квадрата и куба.

Иными словами, для данного разложения числа m {\displaystyle m} можно взять в качестве b {\displaystyle b} произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку m {\displaystyle m} — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что m / b 3 {\displaystyle m/b^{3}} является целым. Теперь каждый простой множитель m / b 3 {\displaystyle m/b^{3}} имеет чётную степень, так что m / b 3 {\displaystyle m/b^{3}} — полный квадрат, обозначим его как a 2 {\displaystyle a^{2}} ; и получается m = a 2 b 3 {\displaystyle m=a^{2}b^{3}} . Например:

m = 21600 = 2 5 × 3 3 × 5 2 {\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}} ,
b = 2 × 3 = 6 {\displaystyle b=2\times 3=6} ,
a = m b 3 = 2 2 × 5 2 = 10 {\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10} ,
m = a 2 b 3 = 10 2 × 6 3 {\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}} .

Математические свойства

Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

p ( 1 + 1 p ( p 1 ) ) = ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) ζ ( 6 ) = 315 2 π 4 ζ ( 3 ) {\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)} ,

где p {\displaystyle p} — обходит все простые числа , ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} дзета-функция Римана , и ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} постоянная Апери (Голомб, 1970).

Пусть k ( x ) {\displaystyle k(x)} означает количество полнократных чисел в интервале [ 1 , x ] {\displaystyle [1,x]} . Тогда k ( x ) {\displaystyle k(x)} пропорционально квадратному корню из x {\displaystyle x} . Точнее:

c x 1 / 2 3 x 1 / 3 k ( x ) c x 1 / 2 , c = ζ ( 3 / 2 ) / ζ ( 3 ) = 2 , 173 {\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2,173\cdots } .

Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля x 2 8 y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1} имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел ; Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, x 2 n y 2 = ± 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1} для любого куба n {\displaystyle n} . Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел аналогичных ( 23 3 , 2 3 3 2 13 2 ) {\displaystyle (23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})} , в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что 3 3 c 2 + 1 = 7 3 d 2 {\displaystyle 3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}} имеет бесконечно много решений.

Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша , не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел

Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

( k + 1 ) 2 = k 2 + 2 k + 1 ( k + 1 ) 2 k 2 = 2 k + 1 {\displaystyle (k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1} .

Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: ( k + 2 ) 2 k 2 = 4 k + 4 {\displaystyle (k+2)^{2}-k^{2}=4k+4} . Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.

Голомб дал несколько таких представлений:

2 = 3 3 − 5 2
10 = 13 3 − 3 7
18 = 19 2 − 7 3 = 3 2 (3 3 − 5 2 ).

Сначала высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

6 = 5 4 7 3 − 463 2 ,

и Макдэниел показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .

Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана .

Обобщение

k {\displaystyle k} -полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее k {\displaystyle k} .

( 2 k + 1 1 ) k {\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k}} , 2 k ( 2 k + 1 1 ) k {\displaystyle 2^{k}(2^{k+1}-1)^{k}} , ( 2 k + 1 1 ) k + 1 {\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k+1}} являются k {\displaystyle k} -полнократными в арифметической прогрессии .

Более того, если a 1 , a 2 , , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{s}} являются k {\displaystyle k} -полнократными в арифметической прогрессии с разностью d {\displaystyle d} , то:

( a 1 + d ) k , a 2 ( a s + d ) k , , a s ( a s + d ) k , a s ( a s + d ) k + 1 {\displaystyle (a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots ,a_{s}(a_{s}+d)^{k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}}

являются k {\displaystyle k} -полнократными числами в арифметической прогрессии.

Для k {\displaystyle k} - полнократных чисел имеет место:

a k ( a l + + 1 ) k + a k + 1 ( a l + + 1 ) + + a k + l ( a l + + 1 ) = a k ( a l + + 1 ) k + 1 {\displaystyle a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\dots +1)+\dots +a^{k+l}(a^{l}+\dots +1)=a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k+1}} .

Это равенство даёт бесконечно много наборов длины l + 1 {\displaystyle l+1} k {\displaystyle k} - полнократных чисел, суммы которых тоже k {\displaystyle k} -полнократны. Нитадж показал, что имеется бесконечно много решений уравнения x + y = z {\displaystyle x+y=z} среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон сконструировал бесконечное семейство решений уравнения x + y = z {\displaystyle x+y=z} среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

X = 9712247684771506604963490444281 {\displaystyle X=9712247684771506604963490444281} ,
Y = 32295800804958334401937923416351 {\displaystyle Y=32295800804958334401937923416351} ,
Z = 27474621855216870941749052236511 {\displaystyle Z=27474621855216870941749052236511}

является решением уравнения 32 X 3 + 49 Y 3 = 81 Z 3 {\displaystyle 32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3}} . Возможно сконструировать другое решение, положив X = X ( 49 Y 3 + 81 Z 3 ) , Y = Y ( 32 X 3 + 81 Z 3 ) , Z = Z ( 32 X 3 49 Y 3 ) {\displaystyle X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3}-49Y^{3})} и убирая общий делитель.

Примечания

  1. последовательность в OEIS
  2. ↑ .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .

Литература

  • Cohn, J. H. E. // Math. Comp. — 1998. — Т. 67 , вып. 221 . — С. 439—440 . — doi : .
  • Pál Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7 . — С. 95—102 .
  • Solomon W. Golomb. Powerful numbers // American Mathematical Monthly . — 1970. — Т. 77 , № 8 . — С. 848—852 . — doi : . — JSTOR .
  • Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7 .
  • Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston: Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
  • Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
  • Wayne L. McDaniel. Representations of every integer as the difference of powerful numbers // . — 1982. — № 20 . — С. 85—87 .
  • Abderrahmane Nitaj. On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // . — 1995. — Т. 4 , № 27 . — С. 317—318 . — doi : .

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Same as Полнократное число