В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ может быть продолжена на σ-кольцо, порождённое кольцом ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега .

Утверждение

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — кольцо подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ с мерой ${\displaystyle \mu :{\mathcal {R}}\to [0,+\infty ]}$ , а ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ — σ-кольцо, порождённое ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ . Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера ${\displaystyle \mu ':\sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]}$ , являющаяся продолжением меры ${\displaystyle \mu }$ , то есть, ${\displaystyle \mu '|_{\mathcal {R}}=\mu }$ . Кроме того, если мера ${\displaystyle \mu }$ σ-конечна, то такое продолжение ${\displaystyle \mu '}$ единственно и также σ-конечно.

Полукольцо

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце , то есть семействе подмножеств ${\displaystyle S}$ , удовлетворяющих следующим условиям:

• ${\displaystyle \varnothing \in S}$ ;
• для любых ${\displaystyle A,B\in S}$ пересечение ${\displaystyle A\cap B\in S}$ ;
• для любых ${\displaystyle A,B\in S}$ существуют такие попарно непересекающиеся множества ${\displaystyle K_{i}\in S}$ , где ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$ , что ${\displaystyle A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i}}}$ .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо ${\displaystyle S}$ порождает кольцо ${\displaystyle R(S)}$ , элементами которого являются всевозможные конечные дизъюнктные объединения множеств из ${\displaystyle S}$ :

${\displaystyle R(S)=\{A:A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}},A_{i}\in S\}}$ ,

а мера ${\displaystyle \mu }$ , заданная на полукольце, продолжается на всё кольцо:

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i})}}$ , где ${\displaystyle A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}}}$ , ${\displaystyle A_{i}\in S}$ .

Построение продолжения

Пусть ${\displaystyle \mu }$ — мера, определённая на кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ . Тогда на подмножествах ${\displaystyle A\subset \Omega }$ можно определить функцию

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}.}$

Эта функция является внешней мерой , порождённой мерой ${\displaystyle \mu }$ . Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ семейство подмножеств ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle \Omega }$ , таких что для всех ${\displaystyle E\subset \Omega }$ выполняется ${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)}$ .

Тогда ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является σ-кольцом, и на нём можно определить меру ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)}$ для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ . Определённая таким образом функция является мерой, которая совпадает с ${\displaystyle \mu }$ на множествах кольца ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ . Также ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ содержит σ-алгебру ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и сужение ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ на элементы ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является пополнением кольца ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ , соответственно, они совпадают, если определённая мера на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ является полной.

Примеры

• Если на действительной прямой взять полукольцо ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ интервалов ${\displaystyle [a,b]}$ , где ${\displaystyle a<b}$ и мера ${\displaystyle [a,b]}$ равна ${\displaystyle b-a}$ , то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$ . Множеству ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
• Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве ${\displaystyle X}$ всех рациональных чисел промежутка ${\displaystyle [0,1]}$ можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами ${\displaystyle [a,b)}$ , где ${\displaystyle a<b}$ — рациональные числа из промежутка ${\displaystyle [0,1]}$ . σ-кольцо, порождённое этим полукольцом, является множеством всех подмножеств ${\displaystyle X}$ . Пусть теперь ${\displaystyle \mu (A)}$ равно количеству элементов ${\displaystyle A}$ , а ${\displaystyle \mu '(A)=2\mu (A)}$ . Тогда обе меры совпадают на полукольце и порождённом кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются бесконечными, то обе меры на всех этих множествах равны ${\displaystyle \infty }$ ), но не совпадают на порождённом σ-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература

• Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
• Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989