Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру .

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой , и ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$ . Говорят, что ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду, и пишут ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle \mu }$ - п.в. , если

${\displaystyle \mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0}$ .

Терминология теории вероятностей

Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ есть вероятностное пространство , и ${\displaystyle Y_{n},Y}$ — случайные величины , такие что

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\right)=1}$ ,

то говорят, что последовательность ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ сходится почти наверное к ${\displaystyle Y}$ .

Свойства сходимости п.в.

• Поточечная сходимость , очевидно, влечёт сходимость почти всюду.
• Пусть ${\displaystyle f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )\;\forall n\in \mathbb {N} }$ , где ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ , и ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится почти всюду к ${\displaystyle f}$ . Пусть также существует функция ${\displaystyle g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ такая, что ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq |g(x)|}$ для всех ${\displaystyle n}$ и почти всех ${\displaystyle x\in X}$ (суммируемая мажоранта ). Тогда ${\displaystyle f\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ , и ${\displaystyle f_{n}\to f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$ . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в ${\displaystyle L^{p}}$ . Например, последовательность функций ${\displaystyle n\chi _{[0,1/n]}}$ сходится к 0 почти всюду на ${\displaystyle [0,1]}$ , но не сходится в ${\displaystyle L^{1}[0,1]}$ .
• Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере , если мера конечна. Для пространств с бесконечной мерой это неверно .

См. также

• Почти всюду

Примечания

Литература