Interested Article - Уравнение Риккати

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{\frac {dx}{dt}}=a(t)x^{2}+b(t)x+c(t).\quad (*)

?????????? ??????? ???????? ????? ??????????? ?????? $(*)$ , ?? ???? ??????? ???????????? ???????????????? ????????? ? ???????????? ??????????? $x_{1},\ldots ,x_{n},$ ?????? ????? ??????? ???????? ???????????? ?????? ??????? ?? ?????????? $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ? ?????????? ?? $t$ ??????????????. ?????????? ? ??????????? ????????? ??????? ??????? ?????????? ? ????????? ???????? ??????????: ?????????????? ????????? , ?????? ?????? ????????????? ????????????? ?????? , ???????????? ?????????? , ?????? ?????????? ??????????? , ????????? ?????? ???? .

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b{\frac {dx}{dt}}=x^{2}+at^{\alpha },\quad (**)

??? $\alpha ,\,a,\,b$ — ?? ?????? ???? ??????????, ??????? ??? ?????????? ???????????? ???????????? ????? ????????? ??????? ? ?????????? ???????? (??????, ??????, ???????-??????? ? ???????-???????) . ??? ???? ??????? ???????, ??? ??????? ??? ????????? ????????? ?????????? ?????????? ?, ?????????????, ?????????????? ? ???????????: $\alpha ={4n}/{(1-2n)},\ n\in \mathbb {N} ,$ ??? $\alpha =-2.$ ??? ??????? ????? ???????? (1841), ??? ?????? ????????? $\alpha$ ??????? ????????? $(**)$ ?????? ???????? ? ??????????? ?? ???????????? ???????; ????? ??????? ??? ????? ???? ???????? ? ??????? ?????????????? ??????? .

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???? $x_{1}(t),\ldots ,x_{4}(t)$ — ??????? ??????? ????????? ???????, ??????????????? ????????? $c_{1},\ldots ,c_{4}$ ?????????? ??????????????, ?? ????? ????? ?????????

{\frac {x_{3}(t)-x_{1}(t)}{x_{3}(t)-x_{2}(t)}}:{\frac {x_{4}(t)-x_{1}(t)}{x_{4}(t)-x_{2}(t)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_{2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.\quad (***)

????? ????? ????????? $(***)$ — ??????? ????????? ??????? ??????? ??????? — ???????? ?????? ?????????? ????????? ???????. ????? ???????, ????? ??????? ????????? ????????????????? ?? ???? ??????????? ??????? ??????? ?? ??????? $(***)$ .

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$S'(V)+S^{2}(V)+R(V,T)T=0$

????????????? ????????? ????? ??? ????????????????? ???????????? ????? ???????????????? ? ??? ????????????? ? ??????????? ?????

T

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????????? ?????????? ??????? ?????????? ???????????????? ?????????

{\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B_{1}(t)X+XB_{2}(t)+C(t)

???????????? ??????????? ?????????? ??????? $X=(x_{ij})$ ??????? $n$ , ? ??????? $A,B_{1},B_{2},C$ — ???????? ?????????? ??????? ??????? $n$ ? ?????????? ?? ?????????? $t$ ??????????????.

? ???????????? ?????????? ??????? ???? ?????? ????????? ????????? ??????? ????

{\frac {dW}{dt}}=(R(t)+W)\cdot P^{-1}(t)\cdot (R^{*}(t)+W)-Q(t)

???????????? ??????????? ?????????? ??????? $W=(w_{ij})$ ??????? $n$ , ? ??????? $P,Q,R$ — ???????? ?????????? ??????? ??????? $n$ ? ?????????? ?? ?????????? $t$ ??????????????, ?????? $\det P\neq 0,$ ????????? ???????? ???????????????? . ??? ????? ??????? ? ?????????? ????? ??? ?????? ???????? ????????????? ???????????

J=\int f(t,x,{\dot {x}})\,dt,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),

? ???????????? ????? ${\widehat {x}}(\cdot ).$ ??? ???? ???????

P(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {\dot {x}}_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,Q(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)},\ \,R(t)={\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial {\dot {x}}_{j}}}{\Bigr )}{\Bigl |}_{{\widehat {x}}(t)}.

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??????? ?. ?. , — ?????????, ??????, 1998.
?????? ?. ?. ????????? ???????, — ?????????, ??????, 2001.
?????? ?. ?. ? ??????? ????????? ??????? // ?????? ?. ?. ????????? ?????? ?????????????? ??????. ??. ??????.— ????????????: ??? ????????????????? ??. ????. ?. ?. ???????, ??????????, ????????. ???-??? ?????????. ?????, 2005.— ???. 137—140.— ISBN 5-7723-0605-9 .

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Wilczinski E. J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. Teubner, Leipzig, 1906.
??????? ?. ?. ?????????? ???????????? ? ????????? ??????? ? ???????????? ??????????, — ?????????, ??????, 1998.
Winternitz P. Lie groups and solutions of nonlinear partial differential equations. Lecture Notes in Physics, 1983, vol. 189, pp. 263—331.
Riccati J. F. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus. Acta Eruditorum Quae Lipside Publicantur, 1724. Supplementa 8.
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Grugnetti L. Sur Carteggio Jacopo Riccati — Nicola 2 Bernulli. J. Riccati e la Cultura della Marca nel Settecento Europeo. Firence, 1992.