В теории графов параллельно-последовательные графы — это графы с двумя различными вершинами, которые называются терминальными , образованные рекурсивно с помощью двух простых операций . Эти графы могут быть использованы для моделирования последовательного и параллельного соединения электрических цепей .

Определение и терминология

В данном контексте понятие граф подразумевает мультиграф .

Существует несколько способов определения параллельно-последовательных графов. Следующее определение, в основном, базируется на определении .

Графом с одной терминальной парой (ОТП) называется граф, у которого помечены две различные вершины s и t , называемые источником и стоком соответственно.

Параллельное соединение Pc = Pc(X,Y) двух непересекающихся ОТП графов X и Y — это граф с одной терминальной парой, созданный объединением графов X и Y при помощи слияния источников X и Y с образованием источника Pc и слиянием стоков X и Y с образованием стока графа Pc .

Последовательное соединение Sc = Sc(X,Y) двух непересекающихся ОТП графов X и Y — это ОТП-граф, созданный объединением графов X и Y путём слияния стока X с источником Y . Источник графа X становится источником Sc , а сток графа Y становится стоком Sc .

Параллельно-последовательный граф с одной терминальной парой (ППОТП граф) — это граф, который может быть получен в результате последовательных и параллельных соединений множества копий однорёберных графов K ₂ с назначенными терминальными вершинами.

Определение 1 . Граф называется последовательно-параллельным , если он ППОТП и две его вершины помечены как источник и сток.

Аналогичным образом можно определить последовательно-параллельные орграфы , которые строятся из копий ориентированных графов с одной дугой, и в этом случае дуга направлена из источника в сток.

Альтернативное определение

Следующее определение даёт тот же класс графов .

Определение 2 . Граф является последовательно-параллельным, если он может быть преобразован в граф K ₂ с помощью последовательности следующих операций:

• Заменяем пару параллельных рёбер одним ребром, сохраняя общие конечные вершины
• Заменяем пару рёбер, инцидентных ребру степени 2 одним ребром.

Свойства

Любой параллельно-последовательный граф имеет древесную ширину и ширину ветвления , не превосходящие 2 . В действительности граф имеет древесную ширину не более 2 тогда и только тогда, когда он имеет ширину ветвления максимум 2, а также тогда и только тогда, когда любая двусвязная компонента является параллельно-последовательным графом . Максимальные параллельно-последовательные графы, графы, к которым нельзя добавить дополнительные рёбра без разрушения последовательно-параллельной структуры, — это в точности .

Параллельно-последовательные графы характеризуются отсутствием подграфа, гомеоморфного графу K ₄ .

Параллельно-последовательные графы могут быть охарактеризованы их ушным разложением .

Исследования, вовлекающие параллельно-последовательные графы

Параллельно-последовательные графы могут быть распознаны за линейное время и их параллельно-последовательные разложения могут быть построены также за линейное время.

Кроме моделирования некоторых типов электрических цепей, эти графы представляют интерес в теории вычислительной сложности , поскольку много стандартных задач на графах решаются в линейное время на ОТП-графах , включая поиск максимального паросочетания , максимального независимого множества , минимального доминирующего множества и гамильтонова дополнения . Некоторые из этих задач для графов общего вида NP-полны . Причиной этого является факт, что если ответы для этих задач известны для двух параллельно-последовательных графов, то можно быстро найти ответ для их последовательных и параллельных соединений.

относится к вопросу перечисления графов и спрашивает о числе параллельно-последовательных графов, которые могут быть образованы из заданного числа рёбер.

Обобщения

Обобщённые параллельно-последовательные графы (ОПП-графы) — это обобщение параллельно-последовательных графов , при котором графы имеют ту же алгоритмическую эффективность для упомянутых задач. Класс ОПП-графов включает параллельно-последовательные графы и внешнепланарные графы .

ОПП-графы могут быть определены добавлением в Определение 2 третьей операции удаления висящих вершин (вершин степени 1). Таким же образом к Определению 1 можно добавить следующую операциию.

• Слияние источников S = M(X,Y) двух ОТП-графов X и Y — это ОТП-граф, созданный из непересекающихся графов X и Y путём слияния источника X с источником Y . Источник и сток графа X становится источником и стоком P соответственно.

SPQR дерево — это структура, которая может быть определена для произвольного вершинно 2-связного графа . Структура имеет S узлов, аналогичных последовательному соединению в параллельно-последовательных графах, P узлов, аналогичных параллельному соединению параллельно-последовательных графов и R узлов, которые не соответствуют операциям параллельно-последовательных графов. 2-связный граф является параллельно-последовательным тогда и только тогда, когда нет R узлов в дереве SPQR.

См. также

• Пороговый граф
• Кограф
• Многогранник Ханнера
• Последовательно-параллельный частичный порядок

Примечания

Литература

• М. Свами, К. Тхуласираман. Графы, сети и алгоритмы. — М. : «Мир», 1984.
• Jacobo Valdes, Robert E. Tarjan , . The recognition of series parallel digraphs // . — 1982. — Т. 11 , вып. 2 . — doi : .
• Н.М. Корниенко. Комбинаторные алгоритмы на классе графов // Известия Национальной академии наук Беларуси СЕРИЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК. — 1984. — Вып. 3 . — С. 109-111 .
• David Eppstein. Parallel recognition of series-parallel graphs // . — 1992. — Т. 98 , вып. 1 . — С. 41–55 . — doi : .
• R. J. Duffin. Topology of Series-Parallel Networks // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1965. — Т. 10 , вып. 2 . — С. 303–313 . — doi : .
• Andreas Brandstädt, Van Bang Le, Jeremy P. Spinrad. Graph classes: a survey. — Philadelphia, PA: , 1999. — Т. 3. — С. 172-174. — (SIAM Monographs on Discrete Mathematics. and Applications). — ISBN 978-0-898714-32-6 .
• H. Bodlaender. A partial k -arboretum of graphs with bounded treewidth // . — 1998. — Т. 209 , вып. 1–2 . — С. 1–45 . — doi : .
• Rhiannon Hall, James Oxley, Charles Semple, Geoff Whittle. On matroids of branch-width three // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 2002. — Т. 86 , вып. 1 . — С. 148–171 . — doi : .
• K. Takamizawa, T. Nishizeki, N. Saito. Linear-time computability of combinatorial problems on series-parallel graphs // Journal of the ACM . — 1982. — Т. 29 , вып. 3 . — С. 623–641 . — doi : .