Перечислены связные 3-регулярные ( кубические ) простые графы с малым числом вершин.

Связность

Число простых кубических графов с числом вершин 4, 6, 8, 10,… равно 1, 2, 5, 19,… . Классификация по 1- и 2- связности рёбер сделана, как обычно принято. Остальные кубические графы, вообще говоря, все трёхсвязны, поскольку удаление всех рёбер, смежных какой-либо вершине, приведёт к потере связности. Если использовать определение в свете алгебры (смотрите ниже), дополнительное подразделение 3-связных графов может быть полезным. Выделим следующие подклассы

• Нетривиально 3-связные графы могут быть разделены путём удаления 3 рёбер на два подграфа, каждый из которых содержит по меньшей мере две вершины.
• Циклически 4-связные — все оставшиеся, то есть не 1-связные, не 2-связные и не тривиально 3-связные.

В таблице эти два случая обозначаются цифрами 3 и 4 в четвёртом столбце.

Рисунок

Модели из шаров и стержней показывают граф в стиле изображений молекулярных связей. Комментарии к индивидуальным рисункам содержат обхват , диаметр , индекс Винера , и . Гамильтонов цикл (где существует) показан путём нумерации вершин, начиная с 1. (Положение вершин определено, исходя из евклидова и расстояния из теории графов, которые помещены в , а затем обработаны программой Jmol .)

LCF-нотация

LCF-нотация — система обозначений, разработанная Ледербергом , Коксетером и Фрухтом для представления кубических графов, являющихся гамильтоновыми .

Рёбра цикла в нотацию не включаются. Поскольку граф кубический, в каждой вершине имеется смежное ребро, не принадлежащее циклу. Эти рёбра можно описать, указав, на сколько вершин удалена вторая вершина от первой (со знаком плюс по часовой стрелке и со знаком минус против часовой стрелки). Часто такое представление даёт повторяющиеся последовательности, в этом случае выписывают только такую последовательность, а количество последовательностей показывают индексом.

Пусть v — вершины графа, и v ₀ v ₁ ,v ₁ v ₂ , ... ,v _p-2 v _p-1 ,v _p-1 v ₀ — гамильтонов цикл из p вершин. Если фиксировать вершину v _i , существует единственная вершина v _j на расстоянии d _i , связанная хордой с v _i ,

${\displaystyle j=i+d_{i}\quad ({\bmod {\,}}p),\quad 2\leq d_{i}\leq p-2.}$

Вектор [d ₀ ,d ₁ , ..., d _p-1 ] из p целых является удобным, хотя и не единственным, представлением гамильтонова кубического графа. Применяются два дополнительных правила:

1. Если элемент d _i >p/2 , заменяем его на d _i -p ;
2. Избегаем повторения последовательности d _i , если она периодична, и заменяем повторение степенью.

Поскольку начальная вершина пути несущественна, числа в представлении можно циклически сдвигать. Если граф содержит различные гамильтоновы циклы, можно выбрать один из них для LCF-нотации. Один и тот же граф может иметь различные LCF-нотации, в зависимости от того, каким образом были выстроены вершины.

Часто антипалидромическое представление

${\displaystyle d_{p-1-i}=-d_{i}\quad ({\bmod {\,}}p),\quad i=0,1,\ldots p/2-1}$

предпочтительно (если таковое существует), и в этом случае вторая часть заменяется на «;-». LCF-нотация [5,-9,7,-7,9,-5] ⁴ , например, может быть сокращена до [5,-9,7;-] ⁴ .

Таблица

4 вершины

диаметр	обхват	Авт	связность	LCF		рисунок
1	3	24	4	[2] 4	${\displaystyle K_{4}}$

6 вершин

диаметр	обхват	Авт	связность	LCF		рисунок
2	3	12	3	[2,3,-2] 2	${\displaystyle W_{n,2}}$ , граф призмы ${\displaystyle Y_{3}}$
2	4	72	4	[3] 6	${\displaystyle K_{3,3}}$

8 вершин

диаметр	обхват	Авт	связность	LCF		рисунок
3	3	16	2	[2,2,-2,-2] 2
3	3	4	3	[4,-2,4,2] 2 или [2,3,-2,3;-]
2	3	12	3	[2,4,-2,3,3,4,-3,-3]
3	4	48	4	[-3,-1,-1,-1,1,1,1,3]	граф куба
2	4	16	4	[4] 8 или [4,-3,3,4] 2	Граф Вагнера

10 вершин

диаметр	обхват	Авт	связность	LCF		рисунок
5	3	32	1		Список рёбер list 0-1,0-6,0-9,1-2,1-5,2-3,2-4,3-4, 3-5,4-5,6-7,6-8,7-8,7-9,8-9
4	3	4	2	[4,2,3,-2,-4,-3,2,2,-2,-2]
3	3	8	2	[2,-3,-2,2,2;-]
3	3	16	2	[-2,-2,3,3,3;-]
4	3	16	2	[2,2,-2,-2,5] 2
3	3	2	3	[2,3,-2,5,-3] 2 [3,-2,4,-3,4,2,-4,-2,-4,2]
3	3	12	3	[2,-4,-2,5,2,4,-2,4,5,-4]
3	3	2	3	[5,3,5,-4,-3,5,2,5,-2,4] [-4,2,5,-2,4,4,4,5,-4,-4] [-3,2,4,-2,4,4,-4,3,-4,-4]
3	3	4	3	[-4,3,3,5,-3,-3,4,2,5,-2] [3,-4,-3,-3,2,3,-2,4,-3,3]
3	3	6	3	[3,-3,5,-3,2,4,-2,5,3,-4]
3	3	4	3	[2,3,-2,3,-3;-] [-4,4,2,5,-2] 2
3	3	6	3	[5,-2,2,4,-2,5,2,-4,-2,2]
3	3	8	3	[2,5,-2,5,5] 2 [2,4,-2,3,4;-]
3	4	48	3	[5,-3,-3,3,3] 2
3	4	8	4	[5,-4,4,-4,4] 2 [5,-4,-3,3,4,5,-3,4,-4,3]
3	4	4	4	[5,-4,4,5,5] 2 [-3,4,-3,3,4;-] [4,-3,4,4,-4;-] [-4,3,5,5,-3,4,4,5,5,-4]
3	4	20	4	[5] 10 [-3,3] 5 [5,5,-3,5,3] 2
3	4	20	4	[-4,4,-3,5,3] 2	${\displaystyle G_{5,2}}$
2	5	120	4		Граф Петерсена

12 вершин

диаметр	обхват	Авт	связность	LCF		рисунок
6	3	16	1		Список рёбер 0-1,0-2,0-11,1-2,1-6, 2-3,3-4,3-5,4-5,4-6, 5-6,7-8,7-9,7-11,8-9, 8-10,9-10,10-11
5	3	16	1		Список рёбер 0-1,0-6,0-11,1-2,1-3, 2-3,2-5,3-4,4-5,4-6, 5-6,7-8,7-9,7-11, 8-9,8-10,9-10,10-11
6	3	8	1		Список рёбер 0-1,0-3,0-11,1-2,1-6, 2-3,2-5,3-4,4-5,4-6, 5-6,7-8,7-9,7-11,8-9, 8-10,9-10,10-11
5	3	32	1		Список рёбер 0-1,0-6,0-11,1-2,1-4, 2-3,2-5,3-4,3-6,4-5, 5-6,7-8,7-9,7-11,8-9, 8-10,9-10,10-11
5	3	4	2	[3,-2,-4,-3,4,2] 2 [4,2,3,-2,-4,-3;-]
4	3	8	2	[3,-2,-4,-3,3,3,3,-3,-3,-3,4,2]
4	3	4	2	[4,2,3,-2,-4,-3,2,3,-2,2,-3,-2]
4	4	64	2	[3,3,3,-3,-3,-3] 2
4	3	16	2	[2,-3,-2,3,3,3;-]
4	3	16	2	[2,3,-2,2,-3,-2] 2
4	3	2	2	[-2,3,6,3,-3,2,-3,-2,6,2,2,-2] [4,2,-4,-2,-4,6,2,2,-2,-2,4,6]
4	3	8	2	[6,3,3,4,-3,-3,6,-4,2,2,-2,-2]
5	3	4	2	[4,2,3,-2,-4,-3,5,2,2,-2,-2,-5]
4	3	16	2	[-3,-3,-3,5,2,2;-]
4	3	8	2	[2,-3,-2,5,2,2;-]
4	3	4	2	[2,4,-2,3,-5,-4,-3,2,2,-2,-2,5] [5,2,-4,-2,-5,-5,2,2,-2,-2,4,5]
4	3	4	2	[-2,-2,4,4,4,4;-] [3,-4,-4,-3,2,2;-] [5,3,4,4,-3,-5,-4,-4,2,2,-2,-2]
4	3	2	2	[4,-2,4,2,-4,-2,-4,2,2,-2,-2,2] [5,-2,2,3,-2,-5,-3,2,2,-2,-2,2]
5	3	16	2	[2,2,-2,-2,-5,5] 2
4	3	8	2	[-2,-2,4,5,3,4;-]
4	3	4	2	[5,2,-3,-2,6,-5,2,2,-2,-2,6,3]
4	3	8	2	[4,-2,3,3,-4,-3,-3,2,2,-2,-2,2]
4	3	8	2	[-2,-2,5,3,5,3;-] [-2,-2,3,5,3,-3;-]
5	3	32	2	[2,2,-2,-2,6,6] 2
4	3	8	2	[-3,2,-3,-2,2,2;-]
4	3	8	2	[-2,-2,5,2,5,-2;-]
4	3	8	2	[6,-2,2,2,-2,-2,6,2,2,-2,-2,2]
4	3	48	2	[-2,-2,2,2] 3
4	3	4	3	[2,3,-2,3,-3,3;-] [-4,6,4,2,6,-2] 2
4	3	4	3	[-4,6,3,3,6,-3,-3,6,4,2,6,-2] [-2,3,-3,4,-3,3,3,-4,-3,-3,2,3]
4	3	1	3	[-5,2,-3,-2,6,4,2,5,-2,-4,6,3] [-2,3,-3,4,-3,4,2,-4,-2,-4,2,3] [3,-2,3,-3,5,-3,2,3,-2,-5,-3,2]
3	3	4	3	[-5,-5,4,2,6,-2,-4,5,5,2,6,-2] [4,-2,3,4,-4,-3,3,-4,2,-3,-2,2]
3	3	8	3	[-5,-5,3,3,6,-3,-3,5,5,2,6,-2] [2,4,-2,3,5,-4,-3,3,3,-5,-3,-3]
4	3	2	3	[2,4,-2,3,6,-4,-3,2,3,-2,6,-3] [2,4,-2,3,5,-4,-3,4,2,-5,-2,-4] [-5,2,-3,-2,5,5,2,5,-2,-5,-5,3]
4	3	2	3	[-5,2,-3,-2,6,3,3,5,-3,-3,6,3] [4,-2,-4,4,-4,3,3,-4,-3,-3,4,2] [-3,3,3,4,-3,-3,5,-4,2,3,-2,-5]
4	3	2	3	[2,3,-2,4,-3,6,3,-4,2,-3,-2,6] [-4,5,-4,2,3,-2,-5,-3,4,2,4,-2]
4	3	1	3	[6,3,-4,-4,-3,3,6,2,-3,-2,4,4] [-5,-4,4,2,6,-2,-4,5,3,4,6,-3] [3,4,4,-3,4,-4,-4,3,-4,2,-3,-2] [4,5,-4,-4,-4,3,-5,2,-3,-2,4,4] [4,5,-3,-5,-4,3,-5,2,-3,-2,5,3]
3	4	4	3	[4,6,-4,-4,-4,3,3,6,-3,-3,4,4] [-5,-4,3,3,6,-3,-3,5,3,4,6,-3] [4,-3,5,-4,-4,3,3,-5,-3,-3,3,4]
3	4	16	3	[3,3,4,-3,-3,4;-] [3,6,-3,-3,6,3] 2
4	3	1	3	[4,-2,5,2,-4,-2,3,-5,2,-3,-2,2] [5,-2,2,4,-2,-5,3,-4,2,-3,-2,2] [2,-5,-2,-4,2,5,-2,2,5,-2,-5,4]	Граф Фрухта
4	3	4	3	[-2,6,2,-4,-2,3,3,6,-3,-3,2,4] [-2,2,5,-2,-5,3,3,-5,-3,-3,2,5]
4	3	2	3	[2,4,-2,6,2,-4,-2,4,2,6,-2,-4] [2,5,-2,2,6,-2,-5,2,3,-2,6,-3]
4	3	2	3	[6,3,-3,-5,-3,3,6,2,-3,-2,5,3] [3,5,3,-3,4,-3,-5,3,-4,2,-3,-2] [-5,-3,4,2,5,-2,-4,5,3,-5,3,-3]
4	4	12	3	[3,-3,5,-3,-5,3,3,-5,-3,-3,3,5]
4	3	2	3	[4,2,4,-2,-4,4;-] [3,5,2,-3,-2,5;-] [6,2,-3,-2,6,3] 2
4	3	2	3	[3,6,4,-3,6,3,-4,6,-3,2,6,-2] [4,-4,5,3,-4,6,-3,-5,2,4,-2,6] [-5,5,3,-5,4,-3,-5,5,-4,2,5,-2]
3	3	1	3	[6,-5,2,6,-2,6,6,3,5,6,-3,6] [6,2,-5,-2,4,6,6,3,-4,5,-3,6] [5,5,6,4,6,-5,-5,-4,6,2,6,-2] [-4,4,-3,3,6,-4,-3,2,4,-2,6,3] [6,2,-4,-2,4,4,6,4,-4,-4,4,-4] [-3,2,5,-2,-5,3,4,-5,-3,3,-4,5] [-5,2,-4,-2,4,4,5,5,-4,-4,4,-5]
3	3	2	3	[2,6,-2,5,6,4,5,6,-5,-4,6,-5] [5,6,-4,-4,5,-5,2,6,-2,-5,4,4] [2,4,-2,-5,4,-4,3,4,-4,-3,5,-4] [2,-5,-2,4,-5,4,4,-4,5,-4,-4,5]
4	3	4	3	[2,4,-2,-5,5] 2 [-5,2,4,-2,6,3,-4,5,-3,2,6,-2]
4	3	2	3	[-4,-4,4,2,6,-2,-4,4,4,4,6,-4] [-4,-3,4,2,5,-2,-4,4,4,-5,3,-4] [-3,5,3,4,-5,-3,-5,-4,2,3,-2,5]
3	3	2	3	[2,5,-2,4,4,5;-] [2,4,-2,4,4,-4;-] [-5,5,6,2,6,-2] 2 [5,-2,4,6,3,-5,-4,-3,2,6,-2,2]
3	3	2	3	[3,6,-4,-3,5,6,2,6,-2,-5,4,6] [2,-5,-2,4,5,6,4,-4,5,-5,-4,6] [5,-4,4,-4,3,-5,-4,-3,2,4,-2,4]
4	3	2	3	[6,-5,2,4,-2,5,6,-4,5,2,-5,-2] [-2,4,5,6,-5,-4,2,-5,-2,6,2,5] [5,-2,4,-5,4,-5,-4,2,-4,-2,5,2]
4	3	1	3	[2,-5,-2,6,3,6,4,-3,5,6,-4,6] [6,3,-3,4,-3,4,6,-4,2,-4,-2,3] [5,-4,6,-4,2,-5,-2,3,6,4,-3,4] [5,-3,5,6,2,-5,-2,-5,3,6,3,-3] [-5,2,-5,-2,6,3,5,5,-3,5,6,-5] [-3,4,5,-5,-5,-4,2,-5,-2,3,5,5] [5,5,5,-5,4,-5,-5,-5,-4,2,5,-2]
3	3	2	3	[5,-3,6,3,-5,-5,-3,2,6,-2,3,5] [2,6,-2,-5,5,3,5,6,-3,-5,5,-5] [5,5,5,6,-5,-5,-5,-5,2,6,-2,5] [4,-3,5,2,-4,-2,3,-5,3,-3,3,-3] [5,5,-3,-5,4,-5,-5,2,-4,-2,5,3]
4	3	4	3	[2,4,-2,5,3,-4;-] [5,-3,2,5,-2,-5;-] [3,6,3,-3,6,-3,2,6,-2,2,6,-2]
4	3	2	3	[6,2,-4,-2,-5,3,6,2,-3,-2,4,5] [2,3,-2,4,-3,4,5,-4,2,-4,-2,-5] [-5,2,-4,-2,-5,4,2,5,-2,-4,4,5]
3	3	2	3	[5,2,5,-2,5,-5;-] [6,2,-4,-2,4,6] 2 [2,-5,-2,6,2,6,-2,3,5,6,-3,6] [-5,-2,6,6,2,5,-2,5,6,6,-5,2]
3	3	12	3	[-5,3,3,5,-3,-3,4,5,-5,2,-4,-2]
3	3	2	3	[6,-4,3,4,-5,-3,6,-4,2,4,-2,5] [-4,6,-4,2,5,-2,5,6,4,-5,4,-5] [5,-5,4,-5,3,-5,-4,-3,5,2,5,-2]
4	3	12	3	[-4,5,2,-4,-2,5;-]	Граф Дюрера
3	3	4	3	[2,5,-2,5,3,5;-] [6,-2,6,6,6,2] 2 [5,-2,6,6,2,-5,-2,3,6,6,-3,2]
3	3	4	3	[6,-2,6,4,6,4,6,-4,6,-4,6,2] [5,6,-3,3,5,-5,-3,6,2,-5,-2,3]
3	3	4	3	[4,-2,4,6,-4,2,-4,-2,2,6,-2,2] [5,-2,5,6,2,-5,-2,-5,2,6,-2,2]
3	3	24	3	[6,-2,2] 4	Усечённый тетраэдр
3	3	12	3		Граф Титце
3	3	36	3	[2,6,-2,6] 3
4	4	24	4	[-3,3] 6 [3,-5,5,-3,-5,5] 2	${\displaystyle G_{6,2}}$ , ${\displaystyle Y_{6}}$
3	4	4	4	[6,-3,6,6,3,6] 2 [6,6,-5,5,6,6] 2 [3,-3,4,-3,3,4;-] [5,-3,6,6,3,-5] 2 [5,-3,-5,4,4,-5;-] [6,6,-3,-5,4,4,6,6,-4,-4,5,3]
3	4	8	4	[-4,4,4,6,6,-4] 2 [6,-5,5,-5,5,6] 2 [4,-3,3,5,-4,-3;-] [-4,-4,4,4,-5,5] 2
3	4	2	4	[-4,6,3,6,6,-3,5,6,4,6,6,-5] [-5,4,6,6,6,-4,5,5,6,6,6,-5] [5,-3,4,6,3,-5,-4,-3,3,6,3,-3] [4,-4,6,4,-4,5,5,-4,6,4,-5,-5] [4,-5,-3,4,-4,5,3,-4,5,-3,-5,3]
3	4	2	4	[3,4,5,-3,5,-4;-] [3,6,-4,-3,4,6] 2 [-4,5,5,-4,5,5;-] [3,6,-4,-3,4,4,5,6,-4,-4,4,-5] [4,-5,5,6,-4,5,5,-5,5,6,-5,-5] [4,-4,5,-4,-4,3,4,-5,-3,4,-4,4]
3	4	8	4	[4,-4,6] 4 [3,6,3,-3,6,-3] 2 [-3,6,4,-4,6,3,-4,6,-3,3,6,4]	Бидиакис-куб
3	4	16	4	[6,-5,5] 4 [3,4,-4,-3,4,-4] 2
3	4	2	4	[-3,5,-3,4,4,5;-] [4,-5,5,6,-4,6] 2 [-3,4,-3,4,4,-4;-] [5,6,-3,-5,4,-5,3,6,-4,-3,5,3] [5,6,4,-5,5,-5,-4,6,3,-5,5,-3]
3	4	4	4	[4,-3,4,5,-4,4;-] [4,5,-5,5,-4,5;-] [-5,-3,4,5,-5,4;-]
3	4	2	4	[6,-4,6,-4,3,5,6,-3,6,4,-5,4] [6,-4,3,-4,4,-3,6,3,-4,4,-3,4] [5,6,-4,3,5,-5,-3,6,3,-5,4,-3] [5,-5,4,6,-5,-5,-4,3,5,6,-3,5] [5,5,-4,4,5,-5,-5,-4,3,-5,4,-3]
3	4	4	4	[6,-3,5,6,-5,3,6,-5,-3,6,3,5] [3,-4,5,-3,4,6,4,-5,-4,4,-4,6]
3	4	8	4	[5,6,6,-4,5,-5,4,6,6,-5,-4,4]
3	5	16	4	[4,-5,4,-5,-4,4;-]
3	4	4	4	[6,4,6,6,6,-4] 2 [-3,4,-3,5,3,-4;-] [-5,3,6,6,-3,5,5,5,6,6,-5,-5] [-3,3,6,4,-3,5,5,-4,6,3,-5,-5]
4	4	8	4	[3,5,5,-3,5,5;-] [-3,5,-3,5,3,5;-] [5,-3,5,5,5,-5;-]
3	4	48	4	[5,-5,-3,3] 3 [-5,5] 6	Граф Франклина
3	4	24	4	[6] 12 [6,6,-3,-5,5,3] 2
3	5	18	4	[6,-5,-4,4,-5,4,6,-4,5,-4,4,5]

Колонка LCF пуста, если у графа нет гамильтонова цикла , что наблюдается довольно редко ( гипотеза Тэйта ). В этом случае список рёбер между парами вершин с индексами от 0 до n-1 в третьем столбце используется как идентификатор.

Вектор коэффициентов взаимодействия

Каждый 4-связный (в выше определённом смысле) простой кубический граф с 2n вершинами определяет класс квантовой механики 3n-j символов. Грубо говоря, каждая вершина представляет 3jm-символ , граф превращается в орграф путём назначения знаков моментам инерции квантовых чисел j , вершины помечаются согласно направленности в дереве j (дерево вершин) 3-jm символов, а граф представляет сумму произведений всех этих чисел, присвоенных вершинам.

Имеется 1 ( ), 1 ( ), 2 (12j), 5 (15j), 18 (18j), 84 (21j), 607 (24j), 6100 (27j), 78824 (30j), 1195280 (33j), 20297600 (36j), 376940415 (39j) и т. д. таких символов .

Если они эквивалентны некоторому порождённому вершинами бинарному дереву (вырезается одно ребро и находится сечение, которое разрезает граф на два дерева), они представляют коэффициенты вторичного взаимодействия, и тоже известны как графы Ютсиса .

Примечания

Ссылки

• A. P. Yutsis, I. B. Levinson, V. V. Vanagas, A. Sen. Mathematical Apparatus of the theory of angular momentum. — Israel program for scientific translations, 1962.
• J.-N. Massot, E. El-Baz, J. Lafoucriere. A general graphical method for angular momentum // Reviews of Modern Physics. — 1967. — Т. 39 , вып. 2 . — С. 288–305 . — doi : .
• F. C. Bussemaker, S. Cobeljic, D. M. Cvetkovic. Computer investigations of cubic graphs. — 1976.
• F. C. Bussemaker, S. Cobeljic, D. M. Cvetkovic, J. J. Seidel. Cubic graphs on <=14 vertices // J. Combin. Theory B. — 1977. — Т. 23 . — С. 234–235 . — doi : .
• R. Frucht. // Journal of Graph Theory. — 1977. — Т. 1 , вып. 1 . — С. 45–60 . — doi : .
• L. Clark, R. Entringer. Smallest maximally non-Hamiltonian graphs // Per. Mathem. Hungar.. — 1983. — Т. 14 , вып. 1 . — С. 57–68 . — doi : .
• N. C. Wormald. // Journal of Graph Theory. — 1985. — Т. 9 . — С. 563–573 . — doi : .
• A. Bar-Shalom, M. Klapisch. NJGRAF - an efficient program for calculation of general recoupling coefficients by graphical analysis, compatible with NJSYM // Comp. Phys. Comm.. — 1988. — Т. 50 , вып. 3 . — С. 375–393 . — doi : .
• G. Brinkmann. // Journal of Graph Theory. — 1996. — Т. 23 , вып. 2 . — С. 139–149 . — doi : .
• V. Fack, S. N. Pitre, J. Van der Jeugt. Calculation of general recoupling coefficients using graphical methods // Comp. Phys. Comm.. — 1997. — Т. 101 , вып. 1–2 . — С. 155–170 . — doi : .
• M. Danos, U. Fano. Graphical analysis of angular momentum for collision products // Physics Reports. — 1998. — Т. 304 , вып. 4 . — С. 155–227 . — doi : .
• M. Meringer. // Journal of Graph Theory. — 1999. — Т. 30 , вып. 2 . — С. 137–146 . — doi : .
• D. Van Dyck, G. Brinkmann, V. Fack, B. D. McKay. To be or not to be Yutsis: Algorithms for the decision problem // Comp. Phys. Comm.. — 2005. — Т. 173 , вып. 1–2 . — С. 61–70 . — doi : .
• D. Van Dyck, V. Fack. On the reduction of Yutsis graphs // Disc. Math.. — 2007. — Т. 307 , вып. 11–12 . — С. 1506–1515 . — doi : .
• R. E. L. Aldred, D. Van Dyck, G. Brinkmann, V. Fack, B. D. McKay. Graph structural properties of non- Yutsis graphs allowing fast recognition // Disc. Math.. — 2009. — Т. 157 , вып. 2 . — С. 377–386 . — doi : .