Простое число Пифагора — это простое число вида 4 n + 1.

Простые числа Пифагора представимы в виде суммы двух квадратов (отсюда и название чисел — по аналогии со знаменитой теоремой Пифагора .)

Несколько первых простых чисел Пифагора:

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , … последовательность в OEIS .

Теорема Ферма — Эйлера утверждает, что эти простые могут быть представлены в виде суммы двух квадратов однозначно (с точностью до порядка), и что никакие другие простые числа не могут быть представлены таким образом, за исключением ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}}$ . Все эти простые (включая 2) являются нормой Гауссовых целых чисел , в то время как другие простые таковыми не являются.

Квадратичный закон взаимности утверждает, что если p и q — различные простые нечетные числа, и по крайней мере одно из них пифагорово, то p является квадратичным вычетом по модулю q только тогда, когда q — квадратичный вычет по модулю p ; и наоборот, если ни p , ни q не являются пифагоровыми, то p является квадратичным вычетом по модулю q тогда и только тогда, когда q является a квадратным невычетом по модулю p .

В поле Z/p с пифагоровым простым p, уравнение ${\displaystyle x^{2}=-1}$ имеет два решения.