Тетраэдра́льные числа , называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа , представляющие пирамиду , в основании которой лежит правильный треугольник . ${\displaystyle n}$ -е по порядку тетраэдра́льное число ${\displaystyle \Delta _{n}}$ определяется как сумма ${\displaystyle n}$ первых треугольных чисел :

${\displaystyle \Delta _{n}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n}}$

Начало последовательности тетраэдральных чисел:

1, 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность в OEIS ).

Формула

Общая формула для ${\displaystyle n}$ -го тетраэдрального числа:

${\displaystyle \Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты :

${\displaystyle \Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3}}.}$

Свойства

Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля .

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами :

${\displaystyle \Delta _{1}=1^{2}=1}$ ,

${\displaystyle \Delta _{2}=2^{2}=4}$ ,

${\displaystyle \Delta _{48}=140^{2}=19600}$ .

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность в OEIS ):

${\displaystyle \Delta _{1}=T_{1}=1}$ ,

${\displaystyle \Delta _{3}=T_{4}=10}$ ,

${\displaystyle \Delta _{6}=T_{15}=120}$ ,

${\displaystyle \Delta _{20}=T_{55}=1540}$ ,

${\displaystyle \Delta _{34}=T_{119}=7140}$ ,

Единственным пирамидальным числом , которое одновременно квадратное и кубическое , является число 1.

Можно заметить, что:

${\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4}}$

Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

Одна из « гипотез Поллока » (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов .

Многомерное обобщение

Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в ${\displaystyle d}$ -мерном пространстве служат « симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными :

${\displaystyle S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}}={\frac {\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.}$ .

Их частным случаем выступают:

• ${\displaystyle S_{n}^{[2]}}$ — треугольные числа .
• ${\displaystyle S_{n}^{[3]}}$ — тетраэдральные числа .
• ${\displaystyle S_{n}^{[4]}}$ — пентатопные числа .

Примечания

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. . — М. : Просвещение, 1996. — С. . — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6 .
• Глейзер Г. И. . — М. : Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• by Jim Delany, .
• by Marco Ripà