Interested Article - Регулярное простое число

В теории чисел регулярное простое число — всякое простое число р , для которого число классов идеалов кругового поля не делится на р . Все остальные простые нечётные числа называются иррегулярными.

Несколько первых регулярных простых чисел :

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …

Свойства

Регулярные числа — это в точности куммеровы простые числа, однако доказывается это довольно сложно. Для проверки числа на куммеровость может быть использован так называемый критерий Куммера: p куммерово тогда и только тогда, когда числители всех чисел Бернулли $B_{2},B_{4},\dots ,B_{p-3}$ не делятся на p .

Предполагается, что регулярных простых чисел бесконечно много, однако это утверждение не доказано.

Регулярные числа ввел Куммер при попытке доказательства теоремы Ферма . Одна из полученных теорем, с учётом совпадения регулярности и куммеровости, утверждает следующее:

Если простое p регулярно, то для него уравнение

x^{p}+y^{p}=z^{p}

не имеет решений в натуральных числах .

Иррегулярное простое число

Простое число, не являющееся регулярным, называется иррегулярным простым числом . Несколько первых иррегулярных простых чисел :

37 , 59, 67, 101 , 103 , 131 , 149 , 157, 233, 257 , 263, 271, 283 , 293, …

Иенсен доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простых чисел.

Иррегулярные пары

Если p — иррегулярное простое число, то p делит без остатка числитель числа Бернулли B _{2

k} для некоторого чётного индекса 2 k в интервале 0 < 2k < p −1 . При этом пара чисел (p, 2k) называется иррегулярной парой . Первые несколько иррегулярных пар :

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …

Для заданного простого p число таких пар называется индексом нерегулярности числа p . Таким образом, простое число регулярно тогда и только тогда, когда индекс иррегулярности равен нулю. Аналогично, простое число иррегулярно тогда и только тогда, когда его индекс иррегулярности положителен.

Обнаружено, что при p < 30000 пара (p, p−3) является иррегулярной лишь для простого числа Вольстенхольма p = 16843 .