Простым числом Хиггса называется простое число , такое, что значение функции Эйлера от этого числа (для простого она равна этому числу минус единица) делит квадрат произведения меньших чисел Хиггса без остатка.

В алгебраической записи — для заданного показателя a простое число Хиггса Hp _n удовлетворяет условию

${\displaystyle \phi (Hp_{n})|\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}{\mbox{ and }}Hp_{n}>Hp_{n-1}}$

где Φ( x ) — функция Эйлера.

Несколько первых простых Хиггса для показателя 2

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, ... последовательность  в OEIS. 

Число 13, например, является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 5336100, и при делении на 12 получим 444675. Однако число 17 не является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 901800900, и при делении его на 16 получим остаток 4.

Ниже приведён список наименьших простых чисел, не являющихся простыми Хиггса для степеней от 2 до 7

Дальнейшие исследования показывают, что числа Ферма ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ не могут быть простыми Хиггса для показателя a , если a меньше 2 ⁿ .

Неизвестно, имеется ли бесконечно много простых чисел Хиггса для произвольного показателя a , большего 1. Для a = 1 ситуация совершенно другая — имеется только четыре таких числа: 2, 3, 7 и 43 (последовательность подозрительно похожа на последовательность Сильвестра ). Баррис ( Burris ) и Ли ( Lee ) в 1993 году обнаружили, что около половины простых чисел меньших миллиона являются простыми Хиггса, откуда они сделали вывод, что даже если число простых Хиггса для показателя 2 и конечно, «перебрать их все с помощью компьютера нереально.»

Ссылки

• Burris, S.; Lee, S. Tarski's high school identities (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1993. — Vol. 100 , no. 3 . — P. 231—236 [p. 233] . — JSTOR .
• Sloane, N.; Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences (неопр.) . — New York: Academic Press , 1995. — ISBN 0-12-558630-2 . M0660