Простое число Вильсона (названо в честь английского математика ) — это простое число ${\displaystyle p}$ , такое, что ${\displaystyle p^{2}}$ делит ${\displaystyle (p-1)!+1}$ , где «!» означает факториал . Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое ${\displaystyle p}$ делит ${\displaystyle (p-1)!+1}$ .

Известны только три простых числа Вильсона — это 5 , 13 и 563 (последовательность в OEIS ). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅10 ¹³ .

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [ x , y ] около log(log( y )/log( x )).

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p — число Вильсона тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}}$ .

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.

Проект распределённых вычислений включает поиск простых чисел Вильсона. Другой поиск координируется проектом mersenneforum.

Обобщения

Почти простые Вильсона

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p ² ) для малых | B | могут быть названы почти простыми Вильсона . Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с | B | ≤ 100 от 10 ⁶ до 4⋅10 ¹¹ :

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Числа Вильсона

Число Вильсона — это целое m , такое, что W ( m ) ≡ 0 (mod m ), где W ( m ) означает дробь Вильсона

${\displaystyle W(m)={\frac {(m-1)!+1}{m}}}$

(последовательность в OEIS ).

Если m — простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа ${\displaystyle 1}$ имеется 13 чисел Вильсона до 5⋅10 ⁸ .

См. также

• Простое число Вифериха
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вольстенхольма
• PrimeGrid

Примечания

Литература

• N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences r ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) et ( p − 1!) ≡ −1 (mod p ² ) (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1913–1914. — Vol. 43 . — P. 72—84 .
• Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1953. — Vol. 28 , no. 2 . — P. 252—256 . — doi : .
• (англ.) ( . (неопр.) . — Springer-Verlag , 1996. — С. . — ISBN 0-387-94457-5 .
• Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1997. — Vol. 66 , no. 217 . — P. 433—449 . — doi : .
• Richard E. Crandall; Carl Pomerance. (англ.) . — Springer-Verlag , 2001. — P. . — ISBN 0-387-94777-9 .
• Erna H. Pearson. (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1963. — Vol. 17 . — P. 194—195 .

Ссылки

• (недоступная ссылка)
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (англ.)
• (англ.)
• (недоступная ссылка)