Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2}}$ .

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения .

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы ${\displaystyle S^{3}}$ как единичной сферы в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ , а двумерной сферы ${\displaystyle S^{2}}$ как комплексной проективной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ . Тогда отображение:

${\displaystyle p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})}$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы ${\displaystyle S^{1}}$ :

${\displaystyle \theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})}$ ,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

${\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\}}$ .

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера ${\displaystyle S^{2n+1}}$ расслаивается со слоем-окружностью над ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ . Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо « комплексной ») существуют вещественная , кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}}$ (вещественная),

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}$ (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}}$ (кватернионная),

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}}$ (октавная).

Такие расслоения сферы ${\displaystyle S^{n}}$ , для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях ${\displaystyle n\in \{1,3,7,15\}}$ . Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ без делителей нуля может быть определено только при ${\displaystyle n\in \{1,2,4,8\}}$ .

См. также

• Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
• Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
• Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа
• Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее
• Сфера Милнора

Примечания

Ссылки