Паракомпактное пространство — топологическое пространство , в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

При этом: семейство универсальных множеств ( ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ множеств), лежащих в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ , называется локально конечным в ${\displaystyle X}$ , если у каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ существует окрестность в ${\displaystyle X}$ , пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ; семейство ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ множеств вписано в семейство ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ множеств, если каждый элемент семейства ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ содержится в некотором элементе семейства ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ .)

Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство . Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий .

Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально . Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы , подчинённые произвольному заданному открытому покрытию.

Свойства

• В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
  • если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем ;
  • если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху .
• Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
• Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
• В классе хаусдорфовых пространств
  • Прообраз паракомпакта при является паракомпактом,
  • Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом.
• К числу паракомпактов относятся, в частности, . Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве , наделённом топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
• Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нём компактом, то оно паракомпактно.
• Все метризуемые пространства паракомпактны (теорема Стоуна) .
  • Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку ${\displaystyle x\in X}$ , непременно образует базу в этой точке.
• Все компакты паракомпактны, но
  • Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

Связанные определения

Счётно паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое счётное открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Слабо паракомпактное пространство (метакомпактное, точечно паракомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать открытое покрытие.

Сильно паракомпактное пространство (гипокомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать открытое покрытие.

Субпаракомпактное пространство (F _σ -просеянное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать замкнутое σ-локально конечное покрытие

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М. : Мир , 1986. — 752 с.