Алгори́тм Бору́вки (или алгоритм Борувки — Соллина ) — это алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе.

Впервые был опубликован в 1926 году в качестве метода нахождения оптимальной электрической сети в Моравии . Несколько раз был переоткрыт, например , и . Последний, кроме того, был единственным западным учёным из этого списка, и поэтому алгоритм часто называют алгоритмом Соллина , особенно в литературе по параллельным вычислениям .

Алгоритм

Работа алгоритма состоит из нескольких итераций, каждая из которых состоит в последовательном добавлении рёбер к остовному лесу графа, до тех пор, пока лес не превратится в дерево , то есть, лес, состоящий из одной компоненты связности.

Алгоритм можно описать так:

1. Изначально, пусть ${\displaystyle T}$ — пустое множество рёбер (представляющее собой остовный лес, в который каждая вершина входит в качестве отдельного дерева).
2. Пока ${\displaystyle T}$ не является деревом (что эквивалентно условию: пока число рёбер в ${\displaystyle T}$ меньше, чем ${\displaystyle V-1}$ , где ${\displaystyle V}$ — число вершин в графе):
   • Для каждой компоненты связности (то есть, дерева в остовном лесе) в подграфе с рёбрами ${\displaystyle T}$ , найдём самое дешёвое ребро, связывающее эту компоненту с некоторой другой компонентой связности. (Предполагается, что веса рёбер различны, или как-то дополнительно упорядочены так, чтобы всегда можно было найти единственное ребро с минимальным весом).
   • Добавим все найденные рёбра в множество ${\displaystyle T}$ .
3. Полученное множество рёбер ${\displaystyle T}$ является минимальным остовным деревом входного графа.

Сложность алгоритма

На каждой итерации число деревьев в остовном лесу уменьшается по крайней мере в два раза, поэтому всего алгоритм совершает не более ${\displaystyle O(\log V)}$ итераций. Каждая итерация может быть реализована со сложностью ${\displaystyle O(E)}$ , поэтому общее время работы алгоритма составляет ${\displaystyle O(E\log V)}$ времени (здесь ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle E}$ — число вершин и рёбер в графе, соответственно).

Однако для некоторых видов графов, в частности, планарных , оно может быть уменьшено до ${\displaystyle O(E)}$ . Существует также рандомизированный алгоритм построения минимального остовного дерева , основанный на алгоритме Борувки, работающий в среднем за линейное время.

См. также

• Минимальное остовное дерево
• Остовное дерево
• Алгоритм Дейкстры
• Алгоритм Краскала
• Алгоритм обратного удаления
• Алгоритм Прима

Литература

• Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на C++, часть 5. Алгоритмы на графах. ISBN 5-93772-082-2 .

Примечания