Interested Article - Число с фиксированной запятой

Число с фиксированной запятой ( англ. fixed-point number) — формат представления вещественного числа в памяти ЭВМ в виде целого числа . При этом само число x и его целочисленное представление x′ связаны формулой

x=x'\cdot z

x=x'\cdot z

,

где z — цена (вес) младшего разряда.

В случае, если $z<1$ $z<1$ , для удобства расчётов его делают дольным единице, чтобы целые числа кодировались без погрешности. Другими словами, выбирают целое число u ( машинную единицу ) и принимают $z={\frac {1}{u}}$ $z={\frac 1u}$ . В случае, если $z>1$ $z>1$ , его делают целым.

Если не требуется, чтобы какие-либо конкретные дробные числа входили в разрядную сетку, программисты обычно выбирают $z=2^{-f}$ $z=2^{{-f}}$ — это позволяет использовать в операциях умножения и деления битовые сдвиги . Про такую арифметику говорят: « f битов на дробную часть, i = n−f — на целую» и обозначают как « i , f », « i . f » или « Qi.f » (см. ). Например: арифметика 8,24 отводит на целую часть 8 бит и 24 — на дробную. Соответственно, она способна хранить числа от −128 до 128− z с ценой (весом) младшего разряда $z=2^{-24}=5{,}96\cdot 10^{-8}$ $z=2^{{-24}}=5{,}96\cdot 10^{{-8}}$ .

Для угловых величин зачастую делают $z=2\pi \cdot 2^{-f}$ $z=2\pi \cdot 2^{{-f}}$ (особенно если тригонометрические функции вычисляются по таблице).

Название

Название «фиксированная запятая» (или «фиксированная точка»; далее — ФЗ) произошло из-за простой метафоры: между двумя заранее определёнными разрядами ставится запятая для превращения целого числа в дробное. Например, целое число 1234 после вставки запятой превращается в дробное 12,34.

В Великобритании, США и других странах вместо запятой для отделения целой части числа от дробной используется точка, поэтому понятия «фиксированная точка» и «фиксированная запятая» эквивалентны.

Применение

Арифметику с фиксированной запятой часто применяют в тех областях, когда использование чисел с плавающей запятой затратно или невозможно ввиду используемой архитектуры процессоров. Например, видеосопроцессоры приставок PlayStation ( Sony ), Saturn ( Sega ), Game Boy Advance ( Nintendo ), Nintendo DS , GP2X используют арифметику с фиксированной запятой для того, чтобы увеличить пропускную способность на архитектурах без FPU . Стандарт OpenGL ES 1.x включает поддержку чисел с фиксированной запятой, так как он создан для встраиваемых систем , у которых часто нет FPU .

Кроме того, арифметику с фиксированной запятой используют для обеспечения минимальной поддержки дробных чисел на целочисленном процессоре: микроконтроллера , мобильного телефона , приставок вплоть до Playstation и т. д. Если не решаются некорректные задачи и СЛАУ высокого порядка, фиксированной запятой зачастую достаточно — важно только подобрать подходящую цену (вес) младшего разряда для каждой из величин.

Числа с фиксированной запятой используют там, где не нужна высокая точность, но требуется производительность. В большинстве современных процессоров ФЗ аппаратно не реализована, но даже программная ФЗ очень быстра — поэтому она применяется в разного рода игровых движках, растеризаторах и т. д. Например, движок Doom для измерения расстояний использует арифметику Q16.16, для углов — 360°=2 ³² .

Также фиксированную запятую удобно использовать для записи чисел, которые по своей природе имеют постоянную абсолютную погрешность : координаты в программах вёрстки , отметки времени , денежные суммы . Например, и сдачу в супермаркете, и налоги в стране вычисляют с точностью до сотой доли. Файлы метрики шрифтов TeX используют 32-битный знаковый тип с фиксированной запятой Q12.20, библиотека растеризации шрифтов FreeType — Q26.6 . На подобные величины можно отдать и плавающую запятую с достаточным количеством знаков мантиссы — но тогда поле порядка становится излишним. Кроме того, фиксированная запятая ведёт себя абсолютно предсказуемо — при подсчёте денег это позволяет наладить разные виды округления , а в играх — наиболее простой способ реализовать многопользовательский режим и запись повторов.

Недостатки

Недостаток фиксированной запятой — очень узкий диапазон чисел, с угрозой переполнения на одном конце диапазона и вычислений на другом. В сложных вычислениях приходится постоянно вписываться в этот диапазон с помощью перемасштабирования — использования разных форматов фиксированной запятой для величин времени, координаты, скорости… Эта проблема и привела к изобретению плавающей запятой . Например: если нужна точность в 3 значащих цифры, 4-байтовая фиксированная запятая даёт диапазон в 6 порядков (то есть, разница приблизительно 10 ⁶ между самым большим и самым маленьким числом), 4-байтовое число одинарной точности — в 70 порядков.

Реализации

Немногие языки программирования предоставляют встроенную поддержку чисел с фиксированной запятой, поскольку для большинства применений двоичное или десятичное представление чисел с плавающей запятой проще и достаточно точно. Числа с плавающей запятой проще из-за их большего динамического диапазона, для них не нужно предварительно задавать количество цифр после запятой. Если же потребуется арифметика с фиксированной запятой, она может быть реализована программистом на используемом им языке.

Числа с фиксированной запятой в формате BCD часто используются для хранения денежных величин — неточности от форматов с плавающей запятой недопустимы, а простеньким микроконтроллерам платёжных терминалов BCD предпочтительнее двоичного представления. Исторически числа с фиксированной точкой часто использовались для десятичных типов данных, например в языках PL/I и COBOL . Язык программирования Ada 2012 включает встроенную поддержку чисел с фиксированной запятой (как двоичных, так и десятичных) и чисел с плавающей запятой. JOVIAL и предоставляли оба формата.

Стандарт добавляет поддержку чисел с фиксированной запятой в язык C . Разработчики компилятора GCC уже реализовали эту поддержку.

Практически все СУБД и язык SQL поддерживают арифметику с фиксированной запятой и хранение таких данных. Например, PostgreSQL имеет специальный численный тип для точного хранения чисел до 1000 цифр.

Операции

Сложение и вычитание чисел с фиксированной запятой — это обычные сложение и вычитание: $(x\pm y)'=x'\pm y'$ $(x\pm y)'=x'\pm y'$ .
Аналогично с умножением и делением на целочисленную константу: $(cx)'=c\cdot x'$ $(cx)' = c\cdot x'$ .
Умножение и деление отличаются от целочисленных на константу.

$(x\cdot y)'=\left[x'\cdot y'\cdot z\right]=\left[{\frac {x'\cdot y'}{u}}\right]$ $(x\cdot y)'=\left[x'\cdot y'\cdot z\right]=\left[{\frac {x'\cdot y'}u}\right]$

$\left({\frac {x}{y}}\right)'=\left[{\frac {x'}{z\cdot y'}}\right]=\left[{\frac {x'\cdot u}{y'}}\right]$ $\left({\frac xy}\right)'=\left[{\frac {x'}{z\cdot y'}}\right]=\left[{\frac {x'\cdot u}{y'}}\right]$ ,

где [ ] — операция округления до целого. В частности, если в дробной части f бит:

$(x\cdot y)'=(x'\cdot y')\,\operatorname {shr} \,f,\,\,\,\,\left({\frac {x}{y}}\right)'={\frac {x'\,\operatorname {shl} \,f}{y'}}$ $(x\cdot y)'=(x'\cdot y')\,\operatorname {shr}\,f,\,\,\,\,\left({\frac xy}\right)'={\frac {x'\,\operatorname {shl}\,f}{y'}}$ .
Для других операций, помимо обычных рядов Тейлора и итерационных методов, широко применяются вычисления по таблице.

Если операнды и результат имеют разную цену (вес) младшего разряда, формулы более сложны — но иногда такое приходится делать из-за большой разницы в порядке величин.

Для перевода чисел из формата с фиксированной запятой в человекочитаемый формат и наоборот применяются обычные правила перевода дробных чисел из одной позиционной системы счисления в другую.