Interested Article - Теорема Сарда

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа , имеющих важные приложения в дифференциальной геометрии и топологии , теории катастроф и теории динамических систем .

Названа в честь американского математика . В некоторых источниках называется теоремой Бертини — Сарда , а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат) и Шломо Стернберга (более поздний, но более общий результат) .

Формулировка

Пусть $U$ — открытое множество в пространстве $\mathbb {R} ^{m}$ и $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ — гладкая функция класса $C^{k},$ где число $k\geqslant 1.$ Пусть $S\subset U$ — множество критических точек функции $f.$ Если $k\geqslant m-n+1,$ то множество критических значений $f(S)$ является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега ) в пространстве $\mathbb {R} ^{n}.$

Замечания

Как показал Х. Уитни , степень гладкости $k$ здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях $m$ и $n.$

Пример

Рассмотрим тождественно постоянную функцию $f\equiv f_{0}.$ Все точки её области определения $U$ являются критическими, следовательно, $S=U.$ Однако множество критических значений $f(S)$ состоит из единственной точки $f_{0}$ , и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения

Лемма Сарда

Мера множества критических значений $C^{1}$ -гладкой функции $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1}$ равна нулю.

Доказательство . Без ограничения общности будем считать отрезок $[a,b]=[0,1].$ Выберем число $\varepsilon >0$ и разобьём отрезок $[0,1]$ на $n$ равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной $f'$ не превосходило $\varepsilon .$ Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция $f'$ непрерывна на отрезке $[0,1]$ , и следовательно ( Теорема о равномерной непрерывности ), равномерно непрерывна на нём, т. е. $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Обозначим через $\Delta _{i}$ те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции $f,$ т. е. $\exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ для всех $x\in \Delta _{i}$ , и следовательно ( Формула конечных приращений ), для любых двух точек $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ выполнено неравенство $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \varepsilon /n.$

Покроем каждое множество $f(\Delta _{i})$ интервалом длины $2{\cdot }\varepsilon /n,$ тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ В силу произвольности выбора числа $\varepsilon$ это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого

Пусть $M^{m}$ и $N^{n}$ — два гладких многообразия положительных размерностей $m$ и $n$ и $f:M^{m}\to N^{n}$ — гладкая функция класса $C^{k},$ где $k\geqslant 1.$ Точка $x\in M^{m}$ называется неправильной , если ранг матрицы Якоби функции $f$ в ней меньше $n.$ Точка $y\in N^{n}$ называется неправильной , если $y=f(x)$ хотя бы для одной неправильной точки $x\in M^{m}$ . В случае $m\geqslant n$ понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае $m<n$ все точки многообразия $M^{m}$ являются неправильными.

Если число $k\geqslant m-n+1,$ то множество неправильных точек отображения $f$ в многообразии $N^{n}$ имеет первую категорию по Бэру , то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в $N^{n}.$

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким .

Другие аналоги

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах ) получен Стивеном Смейлом . Аналоги для отображений и Соболева получены в . Аналог для функций пониженной гладкости получен в .

Литература

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. — М.: Наука, 1985. — 176 c.

Примечания

Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, параграф 10.
Дата обращения: 7 мая 2010. 12 октября 2012 года.
Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
Morse A.P. The behaviour of a function on its critical set. — Annals of Mathematics, vol. 40, N 1 (1939), pp. 62—70.
Sternberg S. Lectures on differential geometry.
Зорич В. А. Математический анализ, том II, глава XI, параграф 5.
Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points, — Duke Math. J., 1 (1935), 514—517.
Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях n -мерного куба в k -мерный куб. Матем. сб., 1953, 32(74):2, с. 443—464.
Дубовицкий А. Я. О структуре множеств уровня дифференцируемых отображений n -мерного куба в k -мерный куб. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:3, с. 371—408.
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, — Любое издание.
Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard’s Theorem, — American Journal of Mathematics, vol. 87, N 4 (1965), pp. 861—866.
Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces, — Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383—397.
Коробков М. В. Об одном аналоге теоремы Сарда для $C^{1}$ -гладких функций двух переменных, — Сибирский математический журнал, 2006, 47:5, с. 1083—1091.