Interested Article - Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях — предположение в аддитивной комбинаторике , сформулированное Палом Эрдёшем , согласно которому в случае, если сумма обратных величин положительных натуральных чисел некоторого множества расходится, то множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии .

Формально, если:

\sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}=\infty

,

то есть $A$ — (англ.) ( , то $A$ содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины.

Эрдёш обещал в своё время премию в 3 тыс. долларов США за доказательство гипотезы , по состоянию на 2008 год была установлена премия в 5 тыс. долларов США .

Связь с другими утверждениями

Следствия из гипотезы

Гипотеза Эрдёша является обобщением теоремы Семереди (поскольку ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn}}={\frac {1}{k}}\left({\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}\right)$ расходится как гармонический ), а также теоремы Грина — Тао (поскольку сумма $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$ , где суммирование ведётся по простым числам, также расходится ).

Утверждения, из которых следует гипотеза

Ввиду эквивалентности расхождению $\sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k}}(4^{t})}$ , гипотеза Эрдёша может быть доказана, если будет доказано, что $\forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\varepsilon }}}\right)$ .

Однако на данный момент доказано только , что $a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n}})^{c_{k}}}}\right)$ , где $c_{k}=2^{-2^{k+9}}$ , а также, в частном случае $k=3$ , что $a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N}}}{\log {N}}}}\right)$ .

Примечания

Гипотезу иногда путают с (англ.) (
Bollobás, Béla . To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1988. — March ( vol. 105 , no. 3 ). — P. 233 . — JSTOR .
Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. p. 354. ISBN 978-0-387-74640-1
М. Айгнер, Г. Циглер, «Доказательства из книги» — М. «Мир», 2006, стр. 13
, с. 115—116.

Ссылки

P. Erdős: от 28 апреля 2016 на Wayback Machine , Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres , Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII (1977), 35-58.
P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi :
И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // УМН. — 2006. — Т. 61, вып. 6(372). — С. 111—178. — doi : .