Контактное число (иногда число Ньютона , в химии соответствует координационному числу ) — максимальное количество шаров единичного радиуса , которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n -мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).

Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров . Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей .

История

В одномерном случае не более двух отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка:

В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монет, касающихся центральной. Из рисунка видно, что разместить можно до 6 монет:

Это значит, что ${\displaystyle N(2)\geqslant 6}$ . С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит ${\displaystyle N(2)\leqslant 360/60=6}$ . Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и ${\displaystyle N(2)=6}$ .

В трёхмерном случае речь идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому ${\displaystyle N(3)\geqslant 12}$ . Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону .

Это расположение неплотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что ${\displaystyle N(3)=12}$ , а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что ${\displaystyle N(3)\leqslant 14}$ . Если позволить менять радиусы шаров на 2 %, то оказывается возможным прислонить до 14 шаров.

Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.

В четырёхмерном случае представить себе шары достаточно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно давно ^{[ источник не указан 3393 дня ]} , оно столь же регулярное, как и в двумерном случае, и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов .

В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом . Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым . Это расположение дало оценку снизу ${\displaystyle N(4)\geqslant 24}$ .

Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что ${\displaystyle N(4)\leqslant 26}$ , потом удалось снизить верхнюю границу до ${\displaystyle N(4)\leqslant 25}$ . И наконец в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что ${\displaystyle N(4)=24}$ .

В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена в 1970-е годы . Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).

Известные значения и оценки

В настоящее время точные значения контактных чисел известны только для ${\displaystyle n\leq 4}$ , а также для ${\displaystyle n=8}$ и ${\displaystyle n=24}$ . Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.

Приложения

Задача имеет практическое применение в теории кодирования. В 1948 году Клод Шеннон опубликовал работу по теории информации, показывающую возможность передачи данных без ошибок в зашумленных каналах связи используя координаты упаковки единичных сфер в n-мерном пространстве. См. также Расстояние Хэмминга .

См. также

• Упаковка шаров
• Открытые математические проблемы

Примечания

Ссылки

• . Математические этюды .
• Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // . — Издательский дом «Первое сентября», 2007. — № 9 (623) .
• Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Потенциал . — 2009. — № 6 .
• Арестов В. В., Бабенко А. Г. // Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. — 1997. — Т. 219 . — С. 44—73 .