Гипотеза ван дер Вардена — доказанная математическая гипотеза о свойстве значений перманента дважды стохастической матрицы ${\displaystyle S}$ порядка ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle \mathrm {per} (S)\geqslant {\frac {n!}{n^{n}}}}$ ,

причём равенство выполняется в том и только том случае, когда все элементы матрицы ${\displaystyle S}$ равны ${\displaystyle 1/n}$ .

Высказана ван дер Варденом в 1926 году ; на её доказательства многие годы были направлены усилия специалистов: гипотеза непосредственно проверена для ${\displaystyle n\leqslant 5}$ , в 1959 году доказано, что если перманент на множестве всех дважды стохастических ${\displaystyle n}$ -матриц достигает на некоторой матрице без нулевых элементов минимума, то он равен ${\displaystyle n!/n^{n}}$ . Полностью доказана советскими математиками в 1980 году (с применением неравенства Александрова — Фенхеля о смешанном объёме ) и независимо в 1981 году (также с использованием геометрических методов, работа представлена к публикации в 1979 году); за эти результаты оба учёных удостоены в 1982 году премии Фалкерсона .

Примечания

Литература

• Минк Х. Перманенты. — М. : Мир, 1982. — 211 с.