Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства ), заданное центром O и коэффициентом ${\displaystyle k\neq 0}$ , переводящее каждую точку ${\displaystyle X}$ в точку ${\displaystyle X'}$ такую, что ${\displaystyle {\overrightarrow {OX'}}=k{\overrightarrow {OX}}}$ . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через ${\displaystyle H_{O}^{k}}$ .

Свойства

• Является частным случаем преобразования подобия : в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии ${\displaystyle k}$ » можно говорить «коэффициент подобия ${\displaystyle k}$ ».
• Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием : образ каждой точки совпадает с ней самой.
• Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией .
• Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как ${\displaystyle A'B'/AB=B'C'/BC=k}$ , то их площади будут относиться как ${\displaystyle k^{2}}$ (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба ).
• Композиция гомотетий с коэффициентами ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ , произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$ , центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Вариации и обобщения

• Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота , имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как ${\displaystyle R_{O}^{\varphi }\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{k}\circ R_{O}^{\varphi }}$ . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как ${\displaystyle R_{O}^{180^{\circ }}\circ H_{O}^{k}=H_{O}^{-k}}$ .

См. также

• Аффинное преобразование
• Коллинеарность
• Непрерывное отображение
• Отношение направленных отрезков
• Подобие
• Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)
• Лемма Архимеда
• Теорема Монжа

Ссылки