Ограниченная машина Больцмана
- 1 year ago
- 0
- 0
Уравне́ние Бо́льцмана ( кинети́ческое уравнение Больцмана ) — уравнение, названное по имени Людвига Больцмана , который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости . Является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики , которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля ). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах, и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность , эффект Холла , вязкость и теплопроводность . Уравнение применимо для разрежённых систем, где время взаимодействия между частицами мало ( гипотеза молекулярного хаоса ).
Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени функции распределения в одночастичном фазовом пространстве , где , и — координата , импульс и время , соответственно. Распределение определяется так, что
пропорционально числу частиц в фазовом объёме в момент времени . Уравнение Больцмана
Здесь — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений . Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля . Если поле сил заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения , то получим уравнение Власова , описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы , а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости ).
В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде
где — оператор Лиувилля, описывающий эволюцию объёма фазового пространства и — оператор столкновений. Нерелятивистская форма оператора выглядит следующим образом
а в общей теории относительности
где — символ Кристоффеля .
Столкновения между частицами приводят к изменению их скоростей. Если задаёт вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью в состояние со скоростью , то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде
В случае квантового характера статистики частиц это выражение осложняется невозможностью двум частицам находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.
Уравнение Больцмана — сложное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов — непростое дело. Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю. При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде
где — равновесная функция распределения, которая известна из термодинамики и зависит только от скоростей частиц, а — небольшое отклонение.
В этом случае можно разложить интеграл столкновений в ряд Тейлора относительно функции , и записать его в виде:
где — время релаксации . Такое приближение называется приближением времени релаксации или моделью интеграла столкновений . Время релаксации, входящее в уравнениe Больцмана, зависит от скорости частиц, а следовательно энергии. Время релаксации можно рассчитать для конкретной системы с конкретными процессами рассеяния частиц.
Уравнениe Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде
Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических и квантовых систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана .