Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица , у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали , равны нулю.

Основные определения

Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица ) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$ , у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i>j}$

Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица ) — квадратная матрица ${\displaystyle A}$ , у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: ${\displaystyle a_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i<j}$ .

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица ${\displaystyle A}$ , в которой все элементы на главной диагонали равны единице: ${\displaystyle a_{jj}=1}$ .

Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной .

Применение

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате :

• любую матрицу ${\displaystyle A_{n\times n}}$ путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах :

• любую квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы ${\displaystyle L}$ и верхней треугольной матрицы ${\displaystyle U}$ : ${\displaystyle A=LU}$ (см. LU -разложение ), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы ${\displaystyle L}$ была унитреугольной;
• любую невырожденную квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ можно представить в следующем виде: ${\displaystyle PA=LU}$ , где ${\displaystyle P}$ — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP -разложение ).

Свойства

• Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
• Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу , которая обозначается UT ( n , k ) или UT _n ( k ).
• Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу , которая обозначается LT ( n , k ) или LT _n ( k ).
• Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UT _n ( k ) по умножению, которая обозначается SUT ( n , k ) или SUT _n ( k ). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT ( n , k ) или SLT _n ( k ).
• Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
• Группа UT _n разрешима , а её унитреугольная подгруппа SUT _n нильпотентна .

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений
• Элементарные преобразования матрицы
• Единичная матрица
• Диагональная матрица

Примечания

Литература

• Воеводин В. В. , Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М. : Наука , 1984. — 320 с.
• Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М. : Наука , 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7 .
• Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М. : Наука , 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2 .