Преобразование Хаусхолдера ( оператор Хаусхолдера ) — линейное преобразование ${\displaystyle H_{u}}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ , которое описывает его отражение относительно гиперплоскости , проходящей через начало координат .

Использовалось в работе американского математика Элстона Скотта Хаусхолдера 1958 года.

Широко применяется в линейной алгебре для QR-разложения матрицы .

Определения

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором ${\displaystyle u}$ , который ортогонален ей, а ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — скалярное произведение в ${\displaystyle V}$ , тогда

${\displaystyle H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u}$

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

${\displaystyle H=I-2uu^{\dagger }.}$

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства

• Матрица Хаусхолдера является эрмитовой : ${\displaystyle H=H^{\dagger }.}$
• Матрица Хаусхолдера является унитарной : ${\displaystyle H^{\dagger }H=I.}$
• Матрица Хаусхолдера является инволюцией : ${\displaystyle H^{2}=I}$ .
• Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение , равное ${\displaystyle -1}$ , которое соответствует собственному вектору ${\displaystyle u}$ , все другие собственные значения равны ${\displaystyle 1}$ .
• Определитель матрицы Хаусхолдера равен ${\displaystyle -1}$ .

Литература

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM , 5 (4), 1958, 339—342.

Ссылки

• от 4 марта 2016 на Wayback Machine