Калибровочная форма — дифференциальная форма на римановом многообразии . Инструмент в теории минимальных поверхностей позволяющий доказать минимальность площади.

Определение

Замкнутая ${\displaystyle k}$ -форма ${\displaystyle \phi }$ на римановом многообразии ${\displaystyle (M,g)}$ назыетеся калибровочной если для любой ортонормированной системы из ${\displaystyle k}$ векторов ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \phi (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})\leq 1.}$

При этом если для ${\displaystyle k}$ -мерного подмногообразие ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle (M,g)}$ достигается равенство

${\displaystyle \phi (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=1.}$

для ортонормированного базиса в каждом касательном пространстве к ${\displaystyle L}$ , то говорят, что ${\displaystyle L}$ калибруется ${\displaystyle \phi }$ .

Свойства

Если ${\displaystyle k}$ -мерного подмногообразие ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle (M,g)}$ калибруется формой ${\displaystyle \phi }$ , то ${\displaystyle L}$ минимизирует площадь среди всех ему гомологичных подмногообразий. Действительно, предположим ${\displaystyle L}$ гомологично ${\displaystyle L'}$ , тогда

${\displaystyle \mathrm {vol} _{k}(L)=\int _{L}\varphi =\int _{L'}\varphi \leq \mathrm {vol} _{k}(L').}$

где первое равенство держится, потому что ${\displaystyle L}$ калибруется ${\displaystyle \phi }$ , второе равенство — по теореме теореме Стокса , а последнее неравенство справедливо, поскольку ${\displaystyle \phi }$ — калибровочная форма.

Примеры

• На кэлеровом многообразии , кэлерова форма является калибровочной; она калибрует комплексные подмногообразия .
• На многообразии Калаби — Яу , вещественная часть голоморфной формы объёма (соответственно нормализованная) является калибровочной формой; она калибрует специальные Лагранжевы подмногообразия .
• На G2-многообразии , 3-форма и ей двойственная 4-форма являются калибровочными.
• На ${\displaystyle Spin(7)}$ -многообразиях, 4-форма Кэли, является калибровочной.

Ссылки

• (1965), "Structure presque quaternale sur une variété différentiable", C. R. Acad. Sci. Paris , 261 : 5445—5448
• (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)", C. R. Acad. Sci. Paris , 262 : 127—129 .
• Berger, M. (1970), "Quelques problemes de geometrie Riemannienne ou Deux variations sur les espaces symetriques compacts de rang un", Enseignement Math. , 16 : 73—96 .
• Brakke, Kenneth A. (1991), "Minimal cones on hypercubes", J. Geom. Anal. : 329–338 (§6.5) .
• Brakke, Kenneth A. (1993), Polyhedral minimal cones in R4 .
• de Rham, Georges (1957–1958), On the Area of Complex Manifolds. Notes for the Seminar on Several Complex Variables .
• Federer, Herbert (1965), "Some theorems on integral currents", Transactions of the American Mathematical Society , 117 : 43—67 .
• (2007), Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry .
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations .
• Kraines, Vivian Yoh (1965), "Topology of quaternionic manifolds", Bull. Amer. Math. Soc. , 71, 3, 1: 526—527 .
• Lawlor, Gary (1998), "Proving area minimization by directed slicing", Indiana U. Math. J. , 47 : 1547—1592 .
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), "Curvy slicing proves that triple junctions locally minimize area", J. Diff. Geom. , 44 : 514—528 {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) .
• Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), "Paired calibrations applied to soap films, immiscible fluids, and surfaces or networks minimizing other norms", Pac. J. Math. , 166 : 55—83 {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) .
• McLean, R. C. (1998), "Deformations of calibrated submanifolds", Communications in Analysis and Geometry , 6 : 705—747 .
• Morgan, Frank (1988), "Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians, and calibrations", Amer. Math. Monthly , 95 : 813—822 .
• Morgan, Frank (1990), "Calibrations and new singularities in area-minimizing surfaces: a survey In "Variational Methods" (Proc. Conf. Paris, June 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron, and I. Ekeland, Eds.)", Prog. Nonlinear Diff. Eqns. Applns , 4 : 329—342 .
• Morgan, Frank (2009), Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide .
• Thi, Dao Trong (1977), "Minimal real currents on compact Riemannian manifolds", Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat , 41 : 807—820 .
• Van, Le Hong (1990), "Relative calibrations and the problem of stability of minimal surfaces", Lecture Notes in Mathematics , 1453 : 245—262 .
• Wirtinger, W. (1936), "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung", Monatshefte für Mathematik und Physik , 44 : 343–365 (§6.5) .