Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности ${\displaystyle M^{2n+1}}$ , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы ${\displaystyle \lambda }$ , что

${\displaystyle \lambda \wedge (d\lambda )^{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lambda }$ называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле ${\displaystyle Y}$ на ${\displaystyle M^{2n+1}}$ такое, что

${\displaystyle \lambda (Y)=1}$

${\displaystyle d\lambda (Y,X)=0}$

для любого векторного поля ${\displaystyle X}$ .

Свойства

• Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
• На любом подмногообразии уровня гамильтониана , заданного на фазовом пространстве , возникает естественная контактная структура.

• С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией .
  • Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация , являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Почти контактная структура

Пусть ${\displaystyle M^{2n+1}}$ — нечётномерное гладкое многообразие ${\displaystyle \dim M=2n+1}$ .

Почти контактной структурой на многообразии ${\displaystyle M}$ называется тройка ${\displaystyle (\eta ,\xi ,\Phi )}$ тензорных полей на этом многообразии, где ${\displaystyle \eta }$ — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, ${\displaystyle \xi }$ — векторное поле, называемое характеристическим, ${\displaystyle \Phi }$ — эндоморфизм ${\displaystyle TM}$ , называемый структурным эндоморфизмом. При этом

1. ${\displaystyle \eta (\xi )=1}$
2. ${\displaystyle \eta \circ \Phi =0}$
3. ${\displaystyle \Phi (\xi )=0}$
4. ${\displaystyle \Phi ^{2}=-id+\eta \otimes \xi }$

Если, кроме того, на ${\displaystyle M}$ фиксирована риманова структура ${\displaystyle g=\langle \cdot ,\cdot \rangle }$ , такая что

${\displaystyle \langle \Phi X,\Phi Y\rangle =\langle X,Y\rangle -\eta (X)\eta (Y)}$

четвёрка ${\displaystyle (\eta ,\xi ,\Phi ,g)}$ называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5 .
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.