Липшицево отображение
(
липшицевское отображение
, также
-липшицево отображение
) —
отображение
, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в
раз, где
называется константой Липшица данной функции. Названо в честь
Рудольфа Липшица
.
Определение
Отображение
метрического пространства
в метрическое пространство
называется липшицевым, если найдётся такая константа
(
константа Липшица
этого отображения), что
при любых
. Это условие называют
условием Липшица
. Отображение с
(1-липшицево отображение) называют также
коротким отображением
.
Липшицево отображение
называется
билипшицевым
, если у него существует обратное
, которое также является липшицевым.
Отображение
называется
колипшицевым
, если существует константа
такая, что для любых
и
найдётся
такое, что
.
История
Отображения со свойством:
-
впервые рассматривалось
Липшицем
в
1864 году
для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости
ряда Фурье
к своей функции.
Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при
, а при
—
условием Гёльдера
.
Свойства
-
Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.
-
Теорема Радемахера
утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
-
Теорема Киршбрауна о продолжении
утверждает, что любое
-липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до
-липшицевского отображения на всё пространство.
Вариации и обобщения
-
Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным
модулем непрерывности
, так как условие Липшица эквивалентно условию
.
-
Показатель Гёльдера
Примечания
-
Федерер Г.
Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.