Основная гипотеза комбинаторной топологии (или Hauptvermutung ) — гипотеза , утверждающая, что любые две триангуляции одного пространства допускают изоморфные подразбиения.

Была сформулирована в 1908 году Эрнстом Штайницем и Генрихом Титце .

Эта гипотеза была опровергнута в общем виде. Более того, она оказалась неверной для некоторых многообразий размерности 4 и выше.

История решения

Контрпример к общему случаю был построен Джоном Милнором в 1961 году с помощью .

Для многообразий гипотеза верна в размерностях 2 и 3. Эти случаи были доказаны и в 1920-х и 1950-х годах, соответственно.

Препятствие к выполнению гипотезы для многообразий было найдено и Деннисом Салливаном в 1967—1969 годах с использованием .

Гомеоморфизм ƒ: N → М между m -мерными кусочно-линейными многообразиями имеет инвариант κ(ƒ) ∈ H ³ ( M ; Z /2 Z ) такой, что для m ≥ 5 ƒ изотопeн кусочно-линейному гомеоморфизму тогда и только тогда, когда κ(ƒ) = 0.

Препятствие к выполнению гипотезы являются относительным вариантом класса Кёрби — Зибенманна и определяется для любого компактного m -мерного топологического многообразия

${\displaystyle \kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

с использованием инвариант Рохлина. Для m ≥ 5 М имеет кусочно-линейную структуру (то есть допускает триангуляцию кусочно-линейным многообразием) тогда и только тогда, когда κ(ƒ) = 0, и в этом случае кусочно-линейные структуры определяются элементом H ³ ( M ; Z /2 Z ). В частности, существует только конечное число различных кусочно-линейных структур на М .

Для компактных односвязных многообразий размерности 4 Саймон Дональдсон нашел примеры с бесконечным числом неэквивалентных кусочно-линейных структур, и Михаил Фридман нашёл E8-многообразие , которое также не допускает триангуляции.

В 2013 году доказал существование компактных многообразий размерности 5 (и, следовательно, любой размерности больше 5), которые не допускают триангуляции.

Примечания