Параллелизуемое многообразие — многообразие ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ , допускающее поле реперов ${\displaystyle e=(e_{1},e_{2},...,e_{n})}$ , то есть ${\displaystyle n}$ линейно независимых в каждой точке векторных полей ${\displaystyle e_{i}}$ .

Поле ${\displaystyle e}$ задает изоморфизм касательного расслоения ${\displaystyle TM\to M}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times M\to M}$ , сопоставляющий касательному вектору ${\displaystyle v\in TM}$ его координаты относительно репера ${\displaystyle e}$ и его начало. Поэтому параллелизуемое многообразие можно также определить как многообразие, имеющее касательное расслоение.

Примеры

• открытые подмногообразия евклидова пространства ,
• все трёхмерные ориентируемые многообразия,
• произвольные группы Ли ,
• произвольного многообразия.
• Сферы ${\displaystyle S^{n}}$ являются параллелизуемыми только при ${\displaystyle n=1,3,7}$ .

Свойства

• Для параллелизуемости 4-мерного многообразия необходимо и достаточно обращение в нуль его второго характеристического класса Штифеля — Уитни .
• В общем случае равенство нулю всех характеристических классов Штифеля — Уитни , и Понтрягина является необходимым, но недостаточным условием для того, чтобы многообразие ${\displaystyle M}$ было параллелизуемо.