Субри́маново многообра́зие — математическое понятие, обобщающее риманово многообразие . Суть обобщения состоит в том, что скалярное произведение задается не на касательных пространствах целиком, а только на некоторых их подпространствах (как правило, фиксированной размерности).

Тем самым, в субримановом многообразии понятие длины определено не для всех кривых , а только для так называемых горизонтальных кривых (тех, которые в каждой своей точке касаются соответствующего подпространства). Возникающая таким образом внутренняя метрика субриманова многообразия называется метрикой Карно-Каратеодори .

Определение

• Пусть ${\displaystyle M}$ — гладкое многообразие размерности ${\displaystyle m}$ , на котором задано гладкое распределение ${\displaystyle \Delta }$ размерности ${\displaystyle n<m}$ , т.е. в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ задано линейное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}}$ касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$ которое гладко зависит от точки ${\displaystyle x}$ . Подпространства ${\displaystyle \Delta _{x}}$ называются горизонтальными . Векторное поле и кривая на ${\displaystyle M}$ называются горизонтальными , если они касаются распределения ${\displaystyle \Delta }$ в каждой точке (в случае кривой имеются в виду все точки, в которых кривая имеет касательную ).

• Распределение ${\displaystyle \Delta }$ называется вполне неинтегрируемым или вполне неголономным , если в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ любой вектор касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M}$ представим в виде линейной комбинации векторов вида

${\displaystyle A,\ [A,B],\ [A,[B,C]],\ [A,[B,[C,D]]],\ \dots }$

с некоторыми ${\displaystyle A,B,C,D,\dots \in \Delta _{x}}$ . Здесь ${\displaystyle [A,B]}$ означает скобку Ли векторных полей.

• Многообразие ${\displaystyle M}$ с определённым на нём вполне неинтегрируемым распределением ${\displaystyle \Delta }$ называется субримановым , если каждое горизонтальное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором , меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, субримановым многообразием называется тройка ${\displaystyle (M,\Delta ,g)}$ .

Связанные понятия

Теорема Рашевского — Чоу

Теорема Рашевского — Чоу утверждает, что для любых двух точек линейно связного субриманова многообразия найдется кусочно-гладкая горизонтальная кривая, соединяющая эти точки. Эта теорема была доказана независимо советским математиком П. К. Рашевским (1938) и китайским математиком Чоу ( , 1939) .

В этой теореме условие гладкости вполне неголономного распределения может быть ослаблено и заменено условием лишпицевости .

Метрика Карно — Каратеодори

Каждое субриманово многообразие обладает метрикой , определённой по аналогии с римановым многообразием формулой

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

где инфимум берётся по всевозможным кусочно-гладким горизонтальным кривым, соединияющим точки x и y , то есть ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ , ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ , ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ . Определённая таким образом метрика ${\displaystyle d(x,y)}$ называется метрикой Карно-Каратеодори .

Примечания

Литература

• Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), , Progress in Mathematics, vol. 144, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3 , MR

• Gromov, Mikhael (1996), "Carnot-Carathéodory spaces seen from within", in Bellaïche, André; Risler., Jean-Jacques (eds.), (PDF) , Progr. Math., vol. 144, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 79—323, ISBN 3-7643-5476-3 , MR {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) от 27 сентября 2011 на Wayback Machine

• Le Donne, Enrico, (PDF)

• Richard Montgomery , A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91) , (2002) American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9 .

• .