Фи́нслерова геометрия — одно из обобщений римановой геометрии . В финслеровой геометрии рассматриваются многообразия с финслеровой метрикой; то есть выбором нормы на каждом касательном пространстве , которая гладко меняется от точки к точке.

Основные понятия

Пусть ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$ -мерное связное гладкое многообразие и ${\displaystyle TM}$ — касательное расслоение ${\displaystyle M}$ .

Финслеровой метрикой на ${\displaystyle M}$ называется непрерывная функция ${\displaystyle F\colon TM\rightarrow [0,\infty ),}$ такая, что на её сужение на любое касательное пространство ${\displaystyle T_{p}M}$ является нормой. При этом обычно предполагаются следующие дополнителные свойства:

1. (Гладкость) ${\displaystyle F}$ является ${\displaystyle C^{\infty }}$ -гладкой функцией не ${\displaystyle (TM\setminus \{0\})}$ ;
2. (Сильная выпуклость) Для любой пары ${\displaystyle (x,y)\in TM}$ билинейная форма

${\displaystyle \mathbf {g} _{y}\colon T_{x}M\times T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t\,\partial s}}\lbrack F^{2}(x,y+su+tv)\rbrack {\Bigl |}_{s=t=0}}$

положительно определена.

Замечания

Если положить

${\displaystyle g_{ij}(x,y)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}[F^{2}(x,y)]}$ ,

то форму ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)}$ можно переписать в виде ${\displaystyle \mathbf {g} _{y}(u,v)=g_{ij}(x,y)u^{i}v^{j}}$

Для любого ненулевого векторного поля ${\displaystyle Y}$ , определённого на ${\displaystyle U\subset M}$ , ${\displaystyle \mathbf {g} _{Y}(u,v)}$ есть риманова метрика на ${\displaystyle U}$ .

Для гладкой кривой ${\displaystyle c:[a,b]\rightarrow M}$ на многообразии ${\displaystyle M}$ с финслеровой метрикой ${\displaystyle F}$ длина определяется интегралом ${\displaystyle L_{F}(c)=\int _{a}^{b}F(c(t),{\dot {c}}(t))dt}$ .

Оператор ковариантного дифференцирования Черна (или Рунда) ${\displaystyle \nabla :T_{x}M\times \Gamma ^{\infty }(TM)\rightarrow T_{x}M}$ определяется как ${\displaystyle \nabla _{y}U:=\{dU^{i}(y)+U^{j}N_{j}^{i}(x,y)\}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}|_{x},}$ где ${\displaystyle y\in T_{x}M}$ , ${\displaystyle U\in \Gamma ^{\infty }(TM)}$ и ${\displaystyle N_{j}^{i}(x,y)={\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\left[{\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}(x,y)\right\}y^{m}y^{k}\right].}$

Введённая таким образом связность на многообразии не является, вообще говоря, аффинной связностью. Связность будет аффинной в том и только в том случае, когда финслерова метрика будет метрикой Бервальда ^{[ уточнить ]} . По определению это значит, что уравнения геодезических имеют такой же вид, как и в римановой геометрии, или геодезические коэффициенты

${\displaystyle G^{i}(x,y)={\frac {1}{4}}g^{il}(x,y)\left\{2{\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{k}}}(x,y)-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{l}}}(x,y)\right\}y^{j}y^{k}}$ представимы в виде ${\displaystyle G^{i}(x,y)=\Gamma _{jk}^{i}(x)y^{j}y^{k}.}$

Для вектора ${\displaystyle y\in T_{x}M\backslash \{0\}}$ рассмотрим функции ${\displaystyle R_{k}^{i}(y)=2{\frac {\partial G^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{\partial x^{j}\partial y^{k}}}y^{j}+2G^{j}{\frac {\partial ^{2}G^{i}}{\partial y^{j}\partial y^{k}}}-{\frac {\partial G^{i}}{\partial y^{j}}}{\frac {\partial G^{j}}{\partial y^{k}}}}$ . Тогда семейство преобразований ${\displaystyle \mathbf {R} =\left\{\mathbf {R} _{y}=R_{k}^{i}(y){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\otimes dx^{k}|_{x}:T_{x}M\rightarrow T_{x}M,y\in T_{x}M\backslash \{0\},x\in M\right\}}$ называется римановой кривизной. Пусть ${\displaystyle P\subset T_{x}M}$ касательная 2-мерная плоскость. Для вектора ${\displaystyle y\in P\backslash \{0\}}$ , определим ${\displaystyle K(P,y)={\frac {\mathbf {g} _{y}(\mathbf {R} _{y}(u),u)}{\mathbf {g} _{y}(y,y)\mathbf {g} _{y}(u,u)-\mathbf {g} _{y}(y,u)^{2}}},}$ где ${\displaystyle u\in P}$ такой вектор, что ${\displaystyle P=\mathrm {span} \{y,u\}}$ . ${\displaystyle K(P,y)}$ не зависит от выбора ${\displaystyle u\in P}$ . Число ${\displaystyle K(P,y)}$ называется флаговой кривизной флага ${\displaystyle (P,y)}$ в ${\displaystyle T_{x}M}$ .

История

Идею финслерова пространства можно увидеть уже в лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854). Наряду с метрикой, задаваемой положительным квадратным корнем из положительно определенной квадратичной дифференциальной формы ( римановой метрикой ), Риман рассматривает также метрику, задаваемую положительным корнем четвёртой степени из дифференциальной формы четвёртого порядка. Финслерова метрика является следующим естественным обобщением.

Систематическое изучение многообразий с такой метрикой началось с диссертации Пауля Финслера , опубликованной в 1918 году , поэтому название таких метрических пространств связывают с его именем. Фактором, положившим начало исследовательской деятельности в этом направлении считается введение Каратеодори новых геометрических методов в вариационное исчисление для изучения задач в параметрической форме. Ядром этих методов является понятие , причём свойство выпуклости индикатрисы играет в этих методах важную роль, поскольку оно обеспечивает выполнение необходимых условий минимума в вариационной задаче для стационарных кривых.

Несколькими годами позже в общем развитии финслеровой геометрии происходит поворот от первоначальной точки зрения Финслера к новым теоретическим методам. Финслер, руководствуясь в основном понятиями вариационного исчисления, не использовал методов тензорного анализа . В 1925 году тензорный анализ был применен к теории почти одновременно Сингом , Тейлором ( англ. J.H. Taylor ) и Бервальдом ( нем. L. Berwald ). В 1927 году Бервальд предложил обобщение, в котором не выполняется условие положительной определённости метрики, известное позднее как пространство Бервальда — Моора .

Следующий поворот в развитии теории произошёл в 1934 году, когда Картан опубликовал трактат о финслеровых пространствах. Картановский подход преобладал практически во всех последующих исследованиях геометрии финслеровых пространств, и несколько математиков выразили мнение, что в результате теория достигла своей окончательной формы. Метод Картана вёл к развитию финслеровой геометрии путём прямого развития методов римановой геометрии.

Критику методов Картана независимо друг от друга высказали несколько геометров, в частности, Вагнер , Буземан и . Ими было подчёркнуто, что естественной локальной метрикой финслерова пространства является метрика Минковского , тогда как произвольное наложение евклидовой метрики ведёт к утере наиболее интересных характеристик финслеровых пространств. По этим причинам в начале 1950-х годов были выдвинуты дальнейшие теории, в результате этого возникли заметные трудности, Буземан отмечал по этому поводу: «Финслерова геометрия со стороны представляет собой лес, в котором вся растительность состоит из тензоров » .

Литература

На русском языке

• Г. С. Асанов. — Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом., 8, ВИНИТИ, М. , 1977, 67-87.
• В. И. Близникас. — Итоги науки. Сер. Мат. Алгебра. Топол. Геом. 1967, ВИНИТИ, М. , 1969, 73-125.
• В. Г. Жотиков. Введение в геометрию Финслера и её обобщения (для физиков) — М. : МФТИ , 2014. ISBN 978-5-7417-0462-2 .
• П. К. Рашевский. Полиметрическая геометрия, — Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. Выпуск 5. ОГИЗ, 1941.
• П. К. Рашевский. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
• Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств, — М. : «Наука», 1981.

На английском языке

• P. L. Antonelli. Handbook of Finsler geometry, — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003.
• D. Bao, S. S. Chern and Z. Shen. An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, — Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-98948-X .
• S. S. Chern. — Notices AMS, 43, September 1996.
• Z. Shen. Lectures on Finsler Geometry, — World Scientific Publishers, 2001. ISBN 981-02-4531-9 .
• Z. Shen. Differential geometry of spray and Finsler spaces, — Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001.

Ссылки

• — Сайт Чжунмин Шэня (Zhongmin Shen) о финслеровой геометрии. (англ.)
• Chris Moseley (Calvin College), (англ.)