Разду́тие (называемое Тюриным сигма-процессом , а Маниным моноидальным преобразованием ) — операция в алгебраической геометрии . В простейшем случае оно, грубо говоря, состоит в замене точки на множество всех прямых, проходящих через неё.

Раздутие плоскости в точке

Пусть ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}}$ — проективная плоскость , а ${\displaystyle {\check {\mathrm {P} ^{2}}}}$ — двойственная проективная плоскость, точки которой соответствуют прямым исходной плоскости. Точки декартова произведения ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2}}}}$ — это пары ${\displaystyle (x,\ell )}$ , где ${\displaystyle x}$ — точка плоскости, a ${\displaystyle \ell }$ — прямая в той же плоскости. Условие ${\displaystyle x\in \ell }$ того, что точка лежит на прямой, в координатных терминах описывается как зануление линейной формы на векторе, так что множество ${\displaystyle \left\{(x,\ell )\colon x\in \ell \right\}\subset \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2}}}}$ является алгебраическим многообразием . Более того, поскольку произведение проективных пространств вкладывается в проективное пространство достаточно большой размерности при помощи вложения Сегре , оно является также и проективным многообразием. Оно называется . Обозначим его за ${\displaystyle I}$ . Зафиксируем точку ${\displaystyle x_{0}\in \mathrm {P} ^{2}}$ , рассмотрим многообразие ${\displaystyle F_{x_{0}}=\{(x,\ell )\colon x_{0}\in \ell \}}$ и его пересечение ${\displaystyle F_{x_{0}}\cap I}$ с многообразием инцидентности. Рассмотрим ограничение проекции ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2}}}\to \mathrm {P} ^{2}}$ на это пересечение. Если точка ${\displaystyle x\in \mathrm {P} ^{2}}$ отлична от точки ${\displaystyle x_{0}}$ , то слой проекции над ней состоит из единственной точки ${\displaystyle (x,\ell )}$ , где ${\displaystyle \ell }$ — прямая, проходящая через точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle x_{0}}$ . С другой стороны, слой над самой точкой ${\displaystyle x_{0}}$ состоит из всех прямых, которые через неё проходят. Многообразие ${\displaystyle F_{x_{0}}\cap I}$ обозначается ${\displaystyle \mathrm {Bl} _{x_{0}}(\mathrm {P} ^{2})}$ и называется раздутием плоскости ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ . Таким образом, это раздутие отличается от плоскости тем, что одна из точек в нём заменена на прямую. В случае, когда проективная плоскость определена над полем комплексных чисел , проективная прямая является сферой Римана , что и объясняет название. Вклеивающаяся прямая называется исключительной кривой и традиционно обозначается ${\displaystyle E_{x_{0}}}$ . Она отличается от обычных прямых тем свойством, что не допускает аналитических деформаций.

Пусть ${\displaystyle C}$ — алгебраическая кривая , проходящая через точку ${\displaystyle x_{0}}$ . Теоретико-множественный прообраз ${\displaystyle C}$ относительно проекции ${\displaystyle \mathrm {Bl} _{x_{0}}\to \mathrm {P} ^{2}}$ содержит исключительную кривую ${\displaystyle E_{x_{0}}}$ и называется полным прообразом . Тем самым полный прообраз не является , даже если изначальная кривая была неприводимой. Однако если в качестве прообраза точки ${\displaystyle x_{0}}$ брать только те пары ${\displaystyle (x_{0},\ell )}$ , где ${\displaystyle \ell }$ — касательная к одной из ветвей кривой в этой точке, то прообраз неприводимой кривой будет неприводим. Такой прообраз называется собственным прообразом . Если ${\displaystyle x_{0}}$ — гладкая точка кривой, то собственный прообраз будет изоморфен самой кривой. Если же кривая имела особенность в этой точке, то собственный прообраз будет отличаться. Например, собственный прообраз декартовой кубики при раздутии в начале координат есть гладкая рациональная кривая.

Сдутие кривых

Заметим, что вышеописанная конструкция могла быть проделана в пределах аффинной карты . Значит, можно говорить о раздутиях любой алгебраической поверхности (или, более общо, комплексной поверхности ). Топологически раздутие устроено следующим образом: у точки ${\displaystyle x_{0}}$ вырезается маленькая окрестность, выглядящая как четырёхмерный шар, и к его границе — трёхмерной сфере — приклеивается двумерная сфера при помощи отображения Хопфа . Раздутие вещественной поверхности состоит в вырезании небольшого диска и приклеивании к его границе, окружности, ленты Мёбиуса .

Заметим, что раздутие не является настоящим отображением, а лишь рациональным отображением : раздутие не определено корректно в раздуваемой точке. При этом обратная операция, называемая сдутием или стягиванием , хорошо определена. Российский геометр А. И. Бондал формулировал это следующим образом: «по определению, раздутие — это операция, противоположная сдутию» .

Не любую рациональную кривую на поверхности можно сдуть. Например, на плоскости никакая кривая не допускает сдутия, поскольку небольшое изменение коэффициентов её уравнения даёт деформацию кривой, которых у исключительных кривых раздутий быть не может. (англ.) ( сдуваемости кривой на алгебраической поверхности был открыт Г. Кастельнуово и является одним из классических достижений итальянской школы .

Рациональная кривая на алгебраической поверхности сдуваема до гладкой точки тогда и только тогда, когда её нормальное расслоение изоморфно тавтологическому .

Г. Кастельнуово .

Например, если раздуть на проективной плоскости две точки, то собственный прообраз проходящей через них прямой будет сдуваем. При его сдутии получается квадрика . Пучки прямых, проходящих через эти две точки, при таком преобразовании перейдут в два семейства прямых на квадрике . Обратное преобразование можно наглядно описать следующим образом. Рассмотрим квадрику ${\displaystyle Q}$ в трёхмерном проективном пространстве и точку ${\displaystyle x}$ на ней, а также какую-нибудь плоскость ${\displaystyle \Pi }$ , не проходящую через ${\displaystyle x}$ . Сопоставим точке ${\displaystyle y\in Q}$ точку пересечения прямой ${\displaystyle xy}$ с плоскостью ${\displaystyle \Pi }$ . Чтобы эта операция была корректно определена в точке ${\displaystyle x}$ , нужно сначала раздуть в ней квадрику. Проекция ${\displaystyle \mathrm {Bl} _{x}(Q)\to \Pi }$ хорошо определена и взаимно-однозначна вне двух прямых на квадрике, проходящих через центр проекции. Таким образом, проекция сдувает эти прямые в две точки.

Критерий Кастельнуово полезен при классификации алгебраических поверхностей : после всех возможных сдутий получается так называемая минимальная модель алгебраической поверхности, такие поверхности расклассифицировать уже нетрудно. Также сдутия полезны в других вопросах алгебраической геометрии поверхностей: например, двумерная группа Кремоны (группа рациональных преобразований проективной плоскости) порождается композициями раздутий и сдутий.

На алгебраической поверхности можно раздуть лишь конечное число точек. Тем не менее, можно имитировать раздутие плоскости во всех точках, рассмотрев пределы по всевозможным раздутиям. Получающийся объект называется . Это бесконечномерное пространство Минковского , на котором действует группа Кремоны. Французские геометры и доказали, рассмотрев это действие, что группа Кремоны не является простой .

Раздутие схем

Наиболее плодотворное описание раздутий в больших размерностях даётся в теории схем . Например, если ${\displaystyle X}$ — проективная схема, a ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ — когерентный пучок идеалов на ней, то раздутием схемы в идеале называется схема ${\displaystyle \mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)}$ вместе с отображением схем ${\displaystyle \pi \colon \mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)\to X}$ таким, что, во-первых, пучок ${\displaystyle \pi ^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{\mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)}}$ обратим , а во-вторых, любой морфизм ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ такой, что пучок ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$ обратим, единственным образом пропускается через морфизм ${\displaystyle \pi }$ . Это универсальное свойство определяет раздутие единственным образом. Явно раздутие определяет конструкция Proj как ${\displaystyle \mathrm {Proj} \bigoplus _{i=0}^{+\infty }{\mathcal {I}}^{i}}$ . Когда говорят о раздутии в замкнутой подсхеме , имеют в виду раздутие в пучке идеалов, который определяет эту подсхему. Подсхема, в которой происходит раздутие, называется центром раздутия . Подмногообразие, появляющееся после раздутия, всегда будет дивизором , называемым исключительным дивизором .

Это определение позволяет раздувать в любой замкнутой подсхеме. Если схема была гладким многообразием, а центр раздутия — её гладким подмногообразием, то, что происходит топологически, можно описать как вырезание малой окрестности центра раздутия и вклеивание проективизации его нормального расслоения, которое на каждом слое выглядит как обобщённое расслоение Хопфа. При раздутии в гладком центре в коразмерности один ничего не происходит. Если же центр не был гладким подмногообразием, то многообразие, вообще говоря, поменяется. Примером могут служить раздутия негладких кривых в особых точках, описанные выше геометрически. Раздутие схемы ${\displaystyle X}$ во всей схеме ${\displaystyle X}$ является пустой схемой. В этом случае проблема с терминологией, артикулированная Бондалом, стоит особенно остро: «отображение» раздутия не определено даже локально, а отображение сдутия является тавтологическим включением пустой подсхемы.

Раздутия с центрами в подмногообразиях широко используются в алгебраической геометрии. Так, В. А. Исковских использовал раздутия при классификации трёхмерных индекса 1 с , изоморфной ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Непроективное (англ.) ( получается последовательными раздутиями точек и кривых в трёхмерном проективном многообразии и последующим склеиванием.

В массовой культуре

Раздутия иногда являются предметом математических шуток , в первую очередь из-за своего неформального названия. В англоязычной традиции раздутия называются англ. , что также может быть переведено как «взрыв» (это слово используется в математическом английском и в других контекстах — например, для описания решений дифференциальных уравнений , уходящих на бесконечность за конечное время). Таким образом, выражение «раздуть плоскость в восьми точках» ( англ. blow up eight points on a plane ) может быть также переведено как «взорвать восемь точек в самолёте». Эта неоднозначность является предметом популярной в математическом сообществе городской легенды об алгебраический геометрах, задержанных в аэропорту за обсуждением раздутий. В русскоязычной математической культуре иногда обыгрывается сходство слов англ. blow-up и англ. .

Примечания