Программа минимальных моделей — это часть бирациональной классификации алгебраических многообразий . Её цель — построение как можно более простой бирациональной модели любого комплексного проективного многообразия . Предмет основывается на классической бирациональной геометрии поверхностей, изучаемой итальянской школой и в настоящее время находящейся в активном изучении.

Основные принципы

Основная идея теории заключается в упрощении бирациональной классификации многообразий путём нахождения в каждом классе бирациональной эквивалентности многообразия, которое «так просто, насколько это возможно». Точное значение этой фразы развивается вместе с развитием самой теории. Первоначально для поверхностей это значило нахождение гладкого многообразия ${\displaystyle X}$ , для которого любой бирациональный ${\displaystyle f:X\rightarrow X'}$ с гладкой поверхностью ${\displaystyle X'}$ является изоморфизмом .

В современной формулировке целью теории является следующее. Предположим, что нам задано проективное многообразие ${\displaystyle X}$ , которое, для простоты, предполагается несингулярным. Возможны два варианта:

• Если ${\displaystyle X}$ имеет ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})=-\infty }$ , мы хотим найти многообразие ${\displaystyle X^{\prime }}$ , бирациональное к ${\displaystyle X}$ , и морфизм ${\displaystyle f:X'\rightarrow Y}$ в проективное многообразие ${\displaystyle Y}$ , такое, что ${\displaystyle \mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime }}$ , с ${\displaystyle -K_{F}}$ слоя общего вида ${\displaystyle F}$ , являющегося обильным . Такой морфизм называется пространством расслоения Фано .
• Если ${\displaystyle \kappa (X,K_{X})}$ не меньше 0, мы хотим найти ${\displaystyle X'}$ , бирациональное ${\displaystyle X}$ с каноническим ${\displaystyle K_{X^{\prime }}}$ . В этом случае ${\displaystyle X'}$ является минимальной моделью для ${\displaystyle X}$ .

Вопрос о несингулярности многообразий ${\displaystyle X'}$ и ${\displaystyle X}$ , приведённых выше, является важным. Выглядит естественной надежда, что если мы начинаем с гладкого ${\displaystyle X}$ , мы всегда найдём минимальную модель или пространство расслоения Фано внутри категории гладких многообразий. Однако это неверно, так что становится необходимым рассмотрение сингулярных многообразий. Возникающие сингулярности называются .

Минимальные модели поверхностей

Любая неприводимая комплексная алгебраическая кривая является бирациональной к единственной гладкой проективной кривой, так что теория для кривых тривиальна. Случай поверхности был сначала исследован итальянцами в конце девятнадцатого — начале двадцатого века. Теорема о стягивании Кастельнуово , по существу, описывает процесс построения минимальной модели любой гладкой поверхности. Теорема утверждает, что любой нетривиальный бирациональный морфизм ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ должен стягивать −1-кривую в гладкую точку, и наоборот, любая такая кривая может быть гладко стянута. Здесь −1-кривая является гладкой рациональной кривой C с самопересечением C . C = −1. Любая такая кривая должна иметь K . C =−1, что показывает, что если канонический класс является неф-классом, то поверхность не имеет −1-кривых.

Из теоремы Кастельнуово следует, что для построения минимальной модели для гладкой поверхности, мы просто стягиваем все −1-кривые на поверхности, и результирующее многообразие Y либо является (единственной) минимальной моделью с неф-классом K , либо линейчатой поверхностью (которая является такой же, как и 2-мерное пространство расслоения Фано, и является либо проективной плоскостью, либо линейчатой поверхностью над кривой). Во втором случае линейчатая поверхность, бирациональная к X , не единственна, хотя существует единственная поверхность, изоморфная произведению проективной прямой и кривой.

Минимальные модели в пространствах высоких размерностей

В размерностях, больших 2, вовлекается более мощная теория. В частности, существуют ${\displaystyle X}$ , которые не бирациональны любому гладкому многообразию ${\displaystyle X'}$ с каноническим неф-классом. Главное концептуальное продвижение 1970-х и ранних 1980-х годов — построение минимальных моделей остаётся возможным с тщательным описанием возможных сингулярностей моделей. (Например, мы хотим понять, является ли ${\displaystyle K_{X'}}$ неф-классом, так что число пересечений ${\displaystyle K_{X'}{\cdot }C}$ должно быть определено. Следовательно, по крайней мере, наши многообразия должны иметь ${\displaystyle nK_{X'}}$ дивизор Картье для некоторого положительного числа ${\displaystyle n}$ .)

Первым ключевым результатом является Мори , которая описывает структуру конуса кривых ${\displaystyle X}$ . Коротко, теорема показывает, что начиная с ${\displaystyle X}$ , можно по индукции построить последовательность многообразий ${\displaystyle X_{i}}$ , каждое из которых «ближе», чем предыдущее к неф-классу ${\displaystyle K_{X_{i}}}$ . Однако процесс может встретить трудности — в некоторой точке многообразие ${\displaystyle X_{i}}$ может стать «слишком сингулярным». Гипотетическое решение этой проблемы — , вид хирургии коразмерности 2 на ${\displaystyle X_{i}}$ . Неясно, существует ли требуемая перестройка, или что процесс всегда прервётся (то есть что достигнем минимальную модель ${\displaystyle X'}$ за конечное число шагов.) Мори показал, что перестройки существуют в 3-мерном случае.

Существование более общих логперестроек установил Шокуров для размерностей три и четыре. Впоследствии это обобщили для более высоких размерностей , Каскини, Хэкон , и Маккернан , опираясь на более ранние работы Шокурова, Хэкона и Маккернана . Они поставили также некоторые другие задачи, включая обобщение лог-канонических колец и существование минимальных моделей для лог-многообразий общего вида.

Задача обрыва лог-перестроек в пространствах большей размерности остаётся объектом активного исследования.

Примечания

Литература