Interested Article - Поверхность Иноуэ

Поверхность Иноуэ — это некоторые комплексные поверхности . Поверхности названы именем Масахита Иноуэ, который привёл первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII в 1974 .

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями .

Поверхности Иноуэ с b ₂ = 0

Иноуэ привёл три семейства поверхностей, S ⁰ , S ⁺ и S ⁻ , которые являются компактными факторами ${\mathbb {C} }\times H$ (произведения комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются . Они получаются как фактор ${\mathbb {C} }\times H$ по разрешимой дискретной группе, которая действует голоморфно на ${\mathbb {C} }\times H$ .

Все разрешимые поверхности, которые построил Иноуэ, имеют второе число Бетти $b_{2}=0$ . Эти поверхности являются , что означает, что для них $b_{1}=1$ и равна $-\infty$ . Как доказали Богомолов , Ли- Яу и Телеман , любая с b ₂ = 0 является поверхностью Хопфа или разрешимым многообразием иноуэвого типа.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций, а также кривых.

К. Хасегава привёл список всех комплексных двумерных разрешимых многообразий. Это комплексный тор , гиперэллиптическая поверхность , и поверхности Иноуэ S ⁰ , S ⁺ и S ⁻ .

Поверхности Иноуэ строятся явным образом, как описано ниже .

Поверхности типа S ⁰

Пусть $\phi$ будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями $\alpha ,{\bar {\alpha }}$ и вещественным собственным значением c>1 , при этом $|\alpha |^{2}c=1$ . Тогда $\phi$ обратима в целых числах и определяет действие группы ${\mathbb {Z} }$ целых чисел на ${\mathbb {Z} }^{3}$ . Пусть $\Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }$ . Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

{\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }

,

действующей на ${\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }$ , при этом группа действует на $({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })$ -часть путём переносов, а на $\rtimes {\mathbb {R} }$ -часть как $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)$ .

Мы расширяем это действие на ${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}$ , положив $v\mapsto e^{\log ct}v$ , где t — параметр $\rtimes {\mathbb {R} }$ -части группы ${\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }$ . Действие тривиально на факторе ${\mathbb {R} }^{3}$ по ${\mathbb {R} }^{>0}$ . Это действие заведомо голоморфно и фактор ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma$ называется поверхностью Иноуэ типа S ⁰ .

Поверхность Иноуэ S ⁰ определяется выбором целочисленной матрицы $\phi$ , с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S ⁺

Пусть n — положительное целое число, а $\Lambda _{n}$ — группа верхних треугольных матриц

{\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},

,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм $\Lambda _{n}$ , который обозначим $\phi$ . Фактор группы $\Lambda _{n}$ по её центру C — это ${\mathbb {Z} }^{2}$ . Предположим, что $\phi$ действует на $\Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}$ как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b , при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу $\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }$ , с ${\mathbb {Z} }$ , действующей на $\Lambda _{n}$ , как $\phi$ . Отождествляя группу верхних треугольных матриц с ${\mathbb {R} }^{3}$ , мы получим действие $\Gamma _{n}$ на ${\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }$ . Определим действие $\Gamma _{n}$ на ${\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}$ с $\Lambda _{n}$ действующим тривиально на ${\mathbb {R} }^{>0}$ -часть и ${\mathbb {Z} }$ действует как $v\mapsto e^{t\log b}v$ . Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа $S^{0}$ , показывают, что это действие голоморфно. Фактор ${\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n}$ называется поверхностью Иноуэ типа $S^{+}$ .

Поверхности типа S ⁻

Поверхности Иноуэ типа $S^{-}$ определяются тем же способом, что и S ⁺ , однако два собственных значения a, b автоморфизма $\phi$ , действующего на ${\mathbb {Z} }^{2}$ , имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S ⁺ , поверхность Иноуэ типа S ⁻ имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S ⁺ .

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями Кодайры класса VII, которые определил Ику Накамура в 1984 . Они не являются разрешимыми многообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Поверхности имеют сферические оболочки и могут быть деформированы в раздутие поверхности Хопфа .

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с 0 самопересечений и эллиптическую кривую. Они являются частным случаем поверхностей Эноки, имеющих цикл рациональных кривых с нулём самопересечений, но без эллиптической кривой. Полуповерхность Иноуэ содержит цикл C рациональных кривых и является фактором гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII ₀ с двумя циклами рациональных кривых .

Примечания

, с. 269-310.
, с. 273–288.
, с. 560-573.
, с. 253-264.
↑ , с. 749-767.
, с. 393-443.
.

Литература

Keizo Hasegawa. // J. Symplectic Geom.. — 2005. — Т. 3 , вып. 4 . — С. 749-767 .
Богомолов Ф. А. // Изв. АН СССР. — 1976. — Т. 40 , вып. 2 .
Li J., Yau S., T. Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler manifolds // Math. aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986). — Adv. Ser. Math. Phys.. — World Scientific Publishing, 1987. — Т. 1.
Nakamura I. On surfaces of class VII ₀ with curves // Inventiones math.. — 1984. — Т. 78 .
Inoue M. On surfaces of class VII ₀ // Inventiones math.. — 1974. — Т. 24 .
Teleman A. Projectively flat surfaces and Bogomolov's theorem on class VII ₀ -surfaces // Int. J. Math.. — 1994. — Т. 5 , вып. 2 .
Nakamura I. Survey on VII ₀ surfaces // . — Sapporo, 2008.