Комплексный тор — это некоторый вид комплексного многообразия M , лежащее в основе гладкое многообразие которого является тором в обычном смысле (то есть прямым произведением некоторого числа N окружностей ). Здесь N должно быть чётным числом 2 n , где n — многообразия M .

Все такие комплексные структуры могут быть получены следующим образом: возьмём решётку ${\displaystyle \Lambda }$ в C ⁿ , которое рассматривается как вещественное векторное пространство. Тогда факторгруппа

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}/\Lambda }$

является компактным комплексным многообразием. Все комплексные торы, с точностью до изоморфизмов, получаются таким образом. При n = 1 это будет классическое построение эллиптических кривых на основе . Для n > 1 Бернхард Риман нашёл необходимые и достаточные условия для комплексного тора, чтобы оно было абелевым многообразием . Если они многообразиями являются, их можно вложить в и они являются абелевыми многообразиями .

Актуальные проективные вложения сложны (см. ), когда n > 1 и, на самом деле, совпадают с теорией тета-функций от нескольких комплексных переменных (с фиксированным модулем). Нет ничего проще, чем описание кубической кривой для n = 1. Компьютерная алгебра может работать со случаями малого n сравнительно точно. По никакой тор, отличный от абелевого многообразия, может быть «помещено» в проективное пространство .

См. также

Примечания

Литература