Изогения — это морфизм алгебраических групп , являющийся сюръективным и имеющий конечное ядро.

Если группами служат абелевы многообразия, то любой морфизм ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ лежащего в основе алгебраического многообразия , являющегося сюръективным с конечными слоями, автоматически является изогенией, обеспечивая ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}$ . Такая изогения f даёт гомоморфизм групп между группами k -значных точек многообразий A и B для любого поля k , над которым f определено.

Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова ισογενη-ς , означающего «равный в некотором смысле». Термин «изогения» ввёл Андре Вейль , до этого вместо термина «изогения» использовался запутывающий термин «изоморфизм».

Случай абелевых многообразий

Для абелевых многообразий , таких как эллиптические кривые , это понятие можно сформулировать следующим образом:

Пусть E ₁ и E ₂ — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем k . Изогения между E ₁ и E ₂ — это плотный морфизм ${\displaystyle f:E_{1}\to E_{2}}$ многообразий, сохраняющий базовые точки (то есть f отображает единицу на E ₁ и единицу на E ₂ ) .

Это эквивалентно вышеприведённому понятию, поскольку любой плотный морфизм между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.

Два абелевых многообразия E ₁ и E ₂ называются изогенными , если существует изогения ${\displaystyle E_{1}\to E_{2}}$ . Это соотношение эквивалентности, симметричное ввиду существования . Как и выше, любая изогения индуцирует гомоморфизм групп k -значных точек абелевых многообразий.

Примечания

Литература