Вектор Витта (в математике ) — бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца .

Эрнст Витт ( нем. Ernst Witt ) показал, как наложить структуру кольца на множество векторов Витта таким образом, что кольцо векторов Витта над конечным полем порядка p является кольцом p -адических целых .

Э. Витт предложил эти вектора впервые в 1937 году в связи с описанием неразветвлённых расширений полей р -адических чисел, а также (первичная мотивация Витта) циклических расширений полей характеристики p (см. Witt 1937). Позже векторы Витта были применены при изучении алгебраических многообразий над полем положительной характеристики, а также в теории коммутативных алгебраических групп и в теории формальных групп.

Мотивация

Любое p -адическое целое может быть записано однозначно в виде степенного ряда ${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+...}$ , где ${\displaystyle a_{i}}$ обычно берутся из множества ${\displaystyle {0,1,2,...,p-1}}$ . Это множество ― не единственно возможное представление, и Тайхмюллер предложил другое множество, состоящее из 0 и ${\displaystyle p-1}$ корней единицы. Другими словами, p корней

${\displaystyle x^{p}-x=0}$ .

Это представление Тайхмюллера может быть отождествлено с элементами конечного поля ${\displaystyle F_{p}}$ порядка p (используя остатки по модулю p), так что это представление устанавливает соответствие между бесконечной последовательностью элементов поля ${\displaystyle F_{p}}$ и набором p -адических чисел.

Как явно описать результат сложения и умножения двух бесконечных последовательностей элементов ${\displaystyle F_{p}}$ , являющихся представлениями Тайхмюллера для p -адических целых? Эта проблема была решена Виттом с использованием векторов Витта.

Построение колец Витта

Возьмём простое число p . Вектор Витта над коммутативным кольцом R ― это последовательность ${\displaystyle {X_{0},X_{1},X_{2},...}}$ элементов R . Определим многочлены Витта ${\displaystyle W_{i}}$ следующим образом:

${\displaystyle W_{0}=X_{0}}$

${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$

${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}$

в общем виде

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.}$

Витт показал, что имеется единственная функториальная конструкция коммутативного кольца (не R -алгебры!) W(R) для любого коммутативного кольца R такое, что элементы W(R) —векторы Витта и такое, что каждый многочлен Витта ${\displaystyle W_{n}}$ представляет собой гомоморфизм кольца W(R) в R . При этом, «функториальная» означает, что к конструкции кольца W(R) для любого кольца R ещё придана конструкция гомоморфизма колец ${\displaystyle W\left(R\right)\to W\left(S\right)}$ для каждого гомоморфизма колец ${\displaystyle R\to S}$ такая, что в результате W — функтор из категории коммутативных колец в саму себя.

Кольцо W(R) называется кольцом векторов Витта над R . Сумма и произведение двух элементов W(R) задаются некими многочленами с целыми коэффициентами, не зависящими от R .

Несколько первых многочленов, дающих сумму и ироизведение векторов Витта могут быть представлены явно. Например,

( X ₀ , X ₁ ,…) + ( Y ₀ , Y ₁ ,…) = ( X ₀ + Y ₀ , X ₁ + Y ₁ + ( X ₀ ^p + Y ₀ ^p − ( X ₀ + Y ₀ ) ^p )/ p , …)

( X ₀ , X ₁ ,…) × ( Y ₀ , Y ₁ ,…) = ( X ₀ Y ₀ , X ₀ ^p Y ₁ + Y ₀ ^p X ₁ + p X ₁ Y ₁ , …)

Примеры

• Кольцо Витта любого коммутативного кольца R , в котором p обратимо, просто изоморфно ${\displaystyle R^{N}}$ (произведению конечного числа копий R ). Фактически, многочлены Витта всегда дают гомоморфизм из кольца векторов Витта в ${\displaystyle R^{N}}$ , и, если p ― обратимо, этот гомоморфизм является изоморфизмом.
• Кольцо Витта над конечным полем порядка p является кольцом p -адических целых чисел.
• кольцо Витта конечного поля порядка ${\displaystyle p^{n}}$ является степени n кольца p -адических целых.

Универсальные векторы Витта

Многочлены Витта для различных простых p являются специальным случаем универсальных многочленов Витта, которые могут быть использованы для построения универсальных колец Витта (не зависящих от простого p ).

Определим универсальные полиномы Витта ${\displaystyle W_{n}}$ для ${\displaystyle n\geq 1}$ формулами

${\displaystyle W_{1}=X_{1}}$

${\displaystyle W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}}$

${\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}}$

${\displaystyle W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}}$

в общем виде

${\displaystyle W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.}$

Можно использовать эти полиномы, чтобы определить кольцо универсальных полиномов Витта над коммутативным кольцом R точно таким же образом, как и выше (так что универсальные полиномы Витта ― гомоморфизмы в кольцо R ).

Схемы кольца

Отображение коммутативного кольца R в кольцо векторов Витта над R (для фиксированного простого p ) является функтором из коммутативного кольца в коммутативное кольцо, который тоже представим , так что его можно рассматривать как , которая называется схемой Витта над Spec( Z ). Схема Витта может быть канонически отождествлена со спектром .

Аналогично, кольца усеченных векторов Витта и кольца универсальных векторов Витта соответствуют схемам кольца, которые называются усечёнными схемами Витта и универсальными схемами Витта .

Более того, функтор из коммутативного кольца R в множество ${\displaystyle R^{n}}$ , представленные афинным пространством ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ и структурой кольца ${\displaystyle R^{n}}$ переводит ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ в схему кольца ${\displaystyle {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$ . Из структуры усеченных векторов Витта следует, что их ассоциированная схема кольца ${\displaystyle \mathbb {W} _{n}}$ является схемой ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$ с уникальной структурой кольца, так что морфизм ${\displaystyle \mathbb {W} _{n}\rightarrow {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$ заданный полиномами Витта является морфизмом схем.

Коммутативные унипотентные алгебраические группы

Над алгебраически замкнутом поле характеристики 0 любая абелева связная алгебраическая группа изоморфна произведению копий аддитивной группы ${\displaystyle G_{a}}$ .

Аналогия для полей с характеристикой p неверна ― усеченные схемы Витта являются контпримером (мы переводим их в алгебраическую группу, убирая структуру умножения и используя только структуру сложения.)

См. также

• Экспонента Артина — Хассе

Литература

• Hazewinkel, Michiel (2009), "Witt vectors. I.", Handbook of algebra. Vol. 6 , Amsterdam: Elsevier/North-Holland, pp. 319—472, arXiv : , ISBN 978-0-444-53257-2 , MR {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (лишняя пунктуация) ( ссылка )
• Mumford, David, Lectures on Curves on an Algebraic Surface , Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 67, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5 , MR , section II.6
• Serre, Jean-Pierre (1988), Algebraic groups and class fields , Graduate Texts in Mathematics, vol. 117, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96648-9 , MR
• Witt, Ernst (1937), , Journal für Reine und Angewandte Mathematik (нем.) , 176 : 126—140 от 26 марта 2015 на Wayback Machine
• Greenberg, M. J. (1969), Lectures on Forms in Many Variables, New York and Amsterdam, Benjamin, MR 241358, ASIN: B0006BX17M
• Ленг С. Алгебра, пер. с англ., М., 1968;
• Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической поверхности , пер. с англ., М., 1968;
• Серр Ж. П. Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968;
• Demazure M., Gabriel P. Groupes algebri-ques, t. 1. P.- Amst., 1970;
• Dieudonne J. «Math. Ann.», 1957, Bd 134, S. 114-33.