Interested Article - Абелево расширение

Абелево расширение поля расширение Галуа , для которого группа Галуа является абелевой .

Например, расширение является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа и . Расширение не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена и его автоморфизмы, фиксирующие , переставляют разные корни этого многочлена , то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелева расширения являются циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы , в случае поля рациональных чисел , вследствие такого расширения получаются круговые поля . Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени , то расширение, полученное присоединением к нему корня степени из некоторого элемента ( расширение Куммера ), является абелевым. Для общего случая [ уточнить ] это утверждение не является верным.

Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической . Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Источник —

Same as Абелево расширение