Interested Article - Теорема Ролля

Теорема Ро́лля ( теорема о нуле производной ) — теорема математического анализа , входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши , в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Если вещественная функция f (x), непрерывная на отрезке $[a,b]$ и дифференцируемая на интервале $(a,b)$ , принимает на концах отрезка $[a,b]$ одинаковые значения f (a) = f (b), то на интервале $(a,b)$ найдётся хотя бы одна точка c, в которой производная функции равна нулю или же f'(c) = 0.

Доказательство

Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на $[a,b]$ , то согласно теореме Вейерштрасса , она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический и физический (механический) смысл

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что если некоторое тело вернулось в исходную точку, двигаясь по незамкнутой линии, то оно обязано было хотя бы раз остановиться до нулевой скорости.

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры

Все условия теоремы: непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка - существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

Следствия

1° Если дифференцируемая функция обращается в нуль в $n$ различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в $n-1$ различных точках , причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

2° Если все корни многочлена $n$ -ой степени действительные, то и корни всех его производных до $n-1$ включительно — также исключительно действительные.

3° ( Теорема Лагранжа ) Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.