Interested Article - Теневое исчисление

Теневое исчисление (от англ. Umbral calculus , далее от лат. umbra — «тень») — математический метод получения некоторых алгебраических тождеств. До 1970-х термин относился к схожести некоторых внешне несвязанных алгебраических тождеств , а также к техникам, использованных для доказательства этих тождеств. Эти техники предложил Джон Блиссард и они иногда называются символическим методом Блиссарда . Их часто приписывают Эдуарду Люка (или Джеймсу Джозефу Сильвестру ), которые их интенсивно использовали .

В 1930-х и 1940-х Эрик Темпл Белл пытался поставить теневое исчисление на строгое основание.

В 1970-х Стивен Роман, и другие разработали теневое исчисление в смысле линейных функционалов на пространстве многочленов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению , включая последовательности многочленов и последовательности Аппеля , но может включать техники исчисления конечных разностей .

Теневое исчисление в 19-м столетии

Метод является процедурой обозначений, используемых для получающихся тождеств, вовлекающих индексированные последовательности чисел, предполагая, что индексы являются степенями . Буквальное использование абсурдно, но работает успешно — тождества, полученные с помощью теневого исчисления, могут быть должным образом получены с помощью более сложных методов, которые могут быть использованы буквально без логических трудностей.

Пример использует многочлены Бернулли . Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальные коэффициенты ):

(y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}

и удивительно похоже выглядящее соотношение для многочленов Бернулли :

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.

Также сравним первую производную

{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

с очень похожим отношением для многочленов Бернулли:

{\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Эти сходства позволяют построить теневые доказательства, которые, на первый взгляд, не могут быть верны, но всё же работают. Так, для примера, если считать, что индекс $n-k$ является степенью:

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},

после дифференцирования получаем желаемый результат:

B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

В формулах выше $b$ является «umbra» (латинское слово, обозначающее «тень»).

См. также Формула Фаульхабера .

Теневые ряды Тейлора

Похожие связи наблюдались также в теории конечных разностей . Теневая версия ряда Тейлора задаётся подобными выражениями, использующими $k$ -ые правосторонние разности $\Delta ^{k}[f]$ многочлена $f$ ,

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!}}(x)_{k}

где

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

— символ Похгаммера , используемый здесь для обозначения убывающего факториала. Похожее соотношение имеет место для левосторонних разностей и возрастающих факториалов.

Эти ряды известны также как ряды Ньютона или правостороннее разложение Ньютона . Аналог разложения Тейлора используется в исчислении конечных разностей .

Белл и Риордан

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такого рода аргументацию логически строгой. Джон Риордан, работавший в области комбинаторики , в своей книге Combinatorial Identities (Комбинаторные тождества), опубликованной в 1960-х годах, использовал данную технику интенсивно.

Современное теневое исчисление

Другой учёный в области комбинаторики, Джиан-Карло Рота, указал на то, что таинственность исчезает, если рассматривать линейный функционал $L$ над многочленами от $z$ , определённый как

L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.

Тогда, используя определение многочленов Бернулли и определение линейности $L$ , можно записать

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x)^{n}\right).

Это позволяет заменить вхождение $B_{n}(x)$ на $L((z+x)^{n})$ , то есть перенести $n$ из нижнего индекса в верхний (ключевая операция теневых исчислений). Например, мы можем теперь доказать, что

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}

путём разложения правой части

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).

Рота позднее утверждал, что много путаницы получились из-за неудач в различении трёх отношений эквивалентности , которые возникают в этой области.

В статье 1964 года Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии , которой удовлетворяют числа Белла , которые подсчитывают число разбиений конечных множеств.

В статье Романа и Роты теневое исчисление описывается как изучение теневой алгебры (umbral algebra), определённой как алгебра линейных функционалов над векторным пространством многочленов от $x$ с произведением $L_{1}L_{2}$ линейных функционалов, определённым как

\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{n-k}\rangle .

Если последовательность многочленов заменяет последовательность чисел как образы $y^{n}$ при линейном отображении $L$ , теневой метод выглядит как существенная составляющая общей теории Рота специальных многочленов и эта теория является теневым исчислением при некоторых более современных определениях этого термина . Небольшой пример этой теории можно найти в статье о . Другая статья — .

Позднее Рота применял теневое исчисление интенсивно в совместной статье с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств полуинвариантов .

Примечания

.
, с. 414–421.
, с. 95–188.
, с. 684.
, с. 283–304.

Литература

Bell E. T. The History of Blissard's Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor's Life // The American Mathematical Monthly . — Mathematical Association of America , 1938. — Т. 45 , вып. 7 . — С. 414–421 . — ISSN . — JSTOR .
John Blissard. // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1861. — Т. 4 . — С. 279–305 .
Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. The umbral calculus // Advances in Mathematics. — 1978. — Т. 27 , вып. 2 . — С. 95–188 . — ISSN . — doi : .
Rota G. C., Kahaner D., Odlyzko A. On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. — 1973. — Июнь ( т. 42 , вып. 3 ). — С. 684 . — doi : . Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.

Steven Roman. . — London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. — Т. 111. — (Pure and Applied Mathematics). — ISBN 978-0-12-594380-2 . . Reprinted by Dover, 2005.
Roman S. Umbral calculus // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4 .
Rota G.-C. , Shen J. // Journal of Combinatorial Theory. — 2000. — Т. 91 . — С. 283–304 .