Центр окружности девяти точек
- 1 year ago
- 0
- 0
Набор окружностей Джонсона состоит из трёх окружностей одинакового радиуса r , имеющих одну общую точку пересечения H . В такой конфигурации окружности обычно имеют четыре точки пересечения (точки, через которые проходят по меньшей мере две окружности) — это общая точка пересечения H , через которую проходят все три окружности, и по дополнительной точке для каждой пары окружностей (будем о них говорить как о попарных пересечениях). Если любые две окружности не пересекаются (а только лишь касаются) они имеют лишь одну общую точку — H , и в этом случае считается, что H является и их попарной точкой пересечения также. Если же окружности совпадают, принимается за попарную точку пересечения точка, диаметрально противоположная точке H . Три точки попарных пересечений окружностей Джонсона образуют опорный треугольник Δ ABC фигуры. Конфигурация названа именем Роджера Артура Джонсона .
Если исходный опорный треугольник ABC остроугольный и заранее задан, то в силу теоремы Гамильтона три его окружности Джонсона одинаковых радиусов являются просто тремя описанными окружностями трех треугольников Гамильтона , имеющими в качестве двух вершин две вершины данного опорного треугольника ABC , а в качестве третьей вершины ортоцентр H опорного треугольника.
H — ортоцентр треугольника ABC (тогда в силу теоремы Гамильтона радиусы окружностей Джонсона равны). O — центр описанной окружности треугольника ABC . Как и теорема Гамильтона , теорема Джонсона имеет смысл только для остроугольных треугольников. Точки J A , J B и J C обозначены по первой букве фамилии Johnson , и не являются центрами вневписанных окружностей треугольника ABC , которые обозначаются аналогичными буквами.
Свойство 1 очевидно из определения.
Свойство 2 также понятно — для любой окружности радиуса r и любой точки P на ней окружность с радиусом 2 r и центром в P касается окружности в точке, противоположной точке P . В частности, это верно и для P = H , где окружность радиуса 2 r — антикомплементарная окружность C .
Свойство 3 немедленно следует из определения подобия.
Для свойств 4 и 5 сначала заметим, что любые две окружности Джонсона из трёх симметричны относительно прямой, проходящей через точку H и точку попарных пересечений этих окружностей (или относительно общей касательной в H , если эти точки совпадают) и эта симметрия обменивает местами две вершины антикомплементарного треугольника, лежащих на этих окружностях. Таким образом, попарные точки пересечения являются серединами антикомплементарного треугольника, и H лежит на перпендикуляре к середине этой стороны. Средние точки сторон любого треугольника являются образами вершин треугольника при гомотетии с множителем −½ и центром, совпадающим с центром тяжести треугольника. Применяя это свойство к антикомплементарному треугольнику, который сам получается из треугольника Джонсона гомотетией с множителем 2, из композиции гомотетий получим, что опорный треугольник подобен треугольнику Джонсона с множителем −1. Поскольку такая гомотетия является конгруэнтностью , это даёт свойство 5, а также доказывает теорему Джонсона, поскольку равные треугольники имеют равные радиусы описанных окружностей .
Свойство 6. Уже установлено, что перпендикуляры к серединам сторон антикомплементарного треугольника проходят через точку H . Вследствие того, что эти стороны параллельны сторонам опорного треугольника, эти перпендикуляры являются также высотами опорного треугольника.
Свойство 7 немедленно следует из свойства 6, поскольку центр подобия с множителем -1 должен лежать посередине между центром описанной окружности O опорного треугольника и точкой H . Точка H является ортоцентром опорного треугольника и его центр девяти точек, как известно, является этой серединой. Ввиду центральной симметрии , отображающей ортоцентр опорного треугольника в ортоцентр треугольника Джонсона, центр подобия является также центром девяти точек треугольника Джонсона.
Имеется также алгебраическое доказательство теоремы окружностей Джонсона, использующее простые векторные формулы. Имеются вектора , и , все длины r , и окружности Джонсона имеют центры в точках , и соответственно. Тогда попарными пересечениями будут , и соответственно, и ясно, что точка имеет расстояние r до любой попарной точки пересечения.
Три окружности Джонсона можно рассматривать как отражения описанной вокруг опорного треугольника окружности относительно его трёх сторон. Более того, при отражении ортоцентр H переходит в три точки на описанной вокруг опорного треугольника окружности, формируя вершины ортокругового треугольника , центр описанной окружности O отображается в вершины треугольника Джонсона, а его прямая Эйлера (прямая, проходящая через O , N и H ) образует три прямых, пересекающихся в точке X (110).
Треугольник Джонсона и его опорный треугольник имеют совпадающие центры девяти точек, ту же самую прямую Эйлера и те же самые окружности девяти точек . Шесть точек — вершины опорного треугольника и вершины его треугольника Джонсона — лежат на эллипсе Джонсона , имеющем центр в центре девяти точек и точка X (216) опорного треугольника является его точкой перспективы . Описанный эллипс и описанная окружность имеют четыре общие точки — три вершины опорного треугольника и точку X (110).
И, наконец, существуют две интересные и описанные в литературе кубические кривые, проходящие через вершины опорного треугольника и его треугольника Джонсона, а также через центр описанной окружности, ортоцентр и центр девяти окружностей. Первая кривая известна как кривая Муссельмана — K 026. Эта кривая проходит также через вершины срединного треугольника и срединного треугольника треугольника Джонсона. Вторая кривая известна как кривая центров Эйлера — K 044. Эта кривая также проходит через шесть точек — основания высот и основания высот треугольника Джонсона.
Обозначение точки X ( i ) принадлежит классификации Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling) в энциклопедии точек треугольника .