Interested Article - Окружности Джонсона

Теорема Джонсона утверждает, что если три синие окружности на рисунке имеют один и тот же радиус и все три проходят через точку H , то получающаяся красная окружность имеет тот же радиус, что и синие окружности. Зелёный треугольник ΔJ _A J _B J _C является тогда треугольником Джонсона чёрного треугольника ΔABC и имеет описанную окружность (оранжевая) радиуса r .

Набор окружностей Джонсона состоит из трёх окружностей одинакового радиуса r , имеющих одну общую точку пересечения H . В такой конфигурации окружности обычно имеют четыре точки пересечения (точки, через которые проходят по меньшей мере две окружности) — это общая точка пересечения H , через которую проходят все три окружности, и по дополнительной точке для каждой пары окружностей (будем о них говорить как о попарных пересечениях). Если любые две окружности не пересекаются (а только лишь касаются) они имеют лишь одну общую точку — H , и в этом случае считается, что H является и их попарной точкой пересечения также. Если же окружности совпадают, принимается за попарную точку пересечения точка, диаметрально противоположная точке H . Три точки попарных пересечений окружностей Джонсона образуют опорный треугольник Δ ABC фигуры. Конфигурация названа именем Роджера Артура Джонсона .

Замечание

Если исходный опорный треугольник ABC остроугольный и заранее задан, то в силу теоремы Гамильтона три его окружности Джонсона одинаковых радиусов являются просто тремя описанными окружностями трех треугольников Гамильтона , имеющими в качестве двух вершин две вершины данного опорного треугольника ABC , а в качестве третьей вершины ортоцентр H опорного треугольника.

Свойства

Антикомплементарная окружность (красная, радиус 2 R ) треугольника ΔABC касается трёх окружностей Джонсона, и центры окружностей лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения H и точки касания. Точки касания образуют антикомплементарный треугольник , ΔP _A P _B P _C (зелёный).

Центры окружностей Джонсона лежат на окружности того же радиуса R , что и окружности Джонсона, и эта окружность имеет центром точку H . Сами же центры окружностей формируют треугольник Джонсона ΔJ _A J _B J _C .
Окружность радиуса 2 R с центром в точке H , известная как антикомплементарная окружность, касается всех трёх окружностей Джонсона ( R - радиус описанной окружности треугольника ABC ). Три точки касания являются отражениями точки H относительно вершин треугольника Джонсона .
Точки касания окружностей Джонсона и антикомплементарной окружности образуют треугольник, носящий название « антикомплементарный треугольник » или « антидополнительный треугольник » опорного (исходного) треугольника ABC . Этот треугольник подобен треугольнику Джонсона и гомотетичен ему с множителем 2 и центром подобия H .
Теорема Джонсона : Точки попарных пересечений окружностей Джонсона (вершины треугольника ABC ) лежат на окружности того же радиуса R , что и окружности Джонсона. Это свойство хорошо известно в Румынии как задача пяти монет Георге Цицейки .
Опорный треугольник равен треугольнику Джонсона и гомотетичен ему с множителем −1. То есть треугольник Джонсона переходит в опорный треугольник поворотом одного из них на угол 180 градусов относительно их центра подобия.
Точка H является ортоцентром опорного треугольника и центром описанной окружности треугольника Джонсона .
Центр подобия треугольника Джонсона и опорного треугольника является их общим центром девяти точек . То есть треугольник Джонсона и опорный треугольник имеют общую окружность девяти точек .
Замечание. Вершины треугольника Джонсона обозначены через J _A , J _B и J _C , то есть также, как и центры вневписанных окружностей опорного треугольника. Они таковыми не являются. В силу теоремы о трезубце для центра $J_{B}$ вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$ , имеем $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ , где $I$ центр вписанной окружности опорного треугольника, $D$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью треугольника $ABC$ . У нас выполняется аналогичное соотношение $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ . Однако точка $J_{A}$ не лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ (то есть не является аналогом точки $D$ ), а ортоцентр $H$ не является центром $I$ вписанной окружности опорного треугольника.

Замечание

H — ортоцентр треугольника ABC (тогда в силу теоремы Гамильтона радиусы окружностей Джонсона равны). O — центр описанной окружности треугольника ABC . Как и теорема Гамильтона , теорема Джонсона имеет смысл только для остроугольных треугольников. Точки J _A , J _B и J _C обозначены по первой букве фамилии Johnson , и не являются центрами вневписанных окружностей треугольника ABC , которые обозначаются аналогичными буквами.

Доказательства

Свойство 1 очевидно из определения.

Свойство 2 также понятно — для любой окружности радиуса r и любой точки P на ней окружность с радиусом 2 r и центром в P касается окружности в точке, противоположной точке P . В частности, это верно и для P = H , где окружность радиуса 2 r — антикомплементарная окружность C .

Свойство 3 немедленно следует из определения подобия.

Для свойств 4 и 5 сначала заметим, что любые две окружности Джонсона из трёх симметричны относительно прямой, проходящей через точку H и точку попарных пересечений этих окружностей (или относительно общей касательной в H , если эти точки совпадают) и эта симметрия обменивает местами две вершины антикомплементарного треугольника, лежащих на этих окружностях. Таким образом, попарные точки пересечения являются серединами антикомплементарного треугольника, и H лежит на перпендикуляре к середине этой стороны. Средние точки сторон любого треугольника являются образами вершин треугольника при гомотетии с множителем −½ и центром, совпадающим с центром тяжести треугольника. Применяя это свойство к антикомплементарному треугольнику, который сам получается из треугольника Джонсона гомотетией с множителем 2, из композиции гомотетий получим, что опорный треугольник подобен треугольнику Джонсона с множителем −1. Поскольку такая гомотетия является конгруэнтностью , это даёт свойство 5, а также доказывает теорему Джонсона, поскольку равные треугольники имеют равные радиусы описанных окружностей .

Свойство 6. Уже установлено, что перпендикуляры к серединам сторон антикомплементарного треугольника проходят через точку H . Вследствие того, что эти стороны параллельны сторонам опорного треугольника, эти перпендикуляры являются также высотами опорного треугольника.

Свойство 7 немедленно следует из свойства 6, поскольку центр подобия с множителем -1 должен лежать посередине между центром описанной окружности O опорного треугольника и точкой H . Точка H является ортоцентром опорного треугольника и его центр девяти точек, как известно, является этой серединой. Ввиду центральной симметрии , отображающей ортоцентр опорного треугольника в ортоцентр треугольника Джонсона, центр подобия является также центром девяти точек треугольника Джонсона.

Имеется также алгебраическое доказательство теоремы окружностей Джонсона, использующее простые векторные формулы. Имеются вектора ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ и ${\vec {w}}$ , все длины r , и окружности Джонсона имеют центры в точках $H+{\vec {u}}$ , $H+{\vec {v}}$ и $H+{\vec {w}}$ соответственно. Тогда попарными пересечениями будут $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ , $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ и $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ соответственно, и ясно, что точка $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ имеет расстояние r до любой попарной точки пересечения.

Дальнейшие свойства

Три окружности Джонсона можно рассматривать как отражения описанной вокруг опорного треугольника окружности относительно его трёх сторон. Более того, при отражении ортоцентр H переходит в три точки на описанной вокруг опорного треугольника окружности, формируя вершины ортокругового треугольника , центр описанной окружности O отображается в вершины треугольника Джонсона, а его прямая Эйлера (прямая, проходящая через O , N и H ) образует три прямых, пересекающихся в точке X (110).

Треугольник Джонсона и его опорный треугольник имеют совпадающие центры девяти точек, ту же самую прямую Эйлера и те же самые окружности девяти точек . Шесть точек — вершины опорного треугольника и вершины его треугольника Джонсона — лежат на эллипсе Джонсона , имеющем центр в центре девяти точек и точка X (216) опорного треугольника является его точкой перспективы . Описанный эллипс и описанная окружность имеют четыре общие точки — три вершины опорного треугольника и точку X (110).

И, наконец, существуют две интересные и описанные в литературе кубические кривые, проходящие через вершины опорного треугольника и его треугольника Джонсона, а также через центр описанной окружности, ортоцентр и центр девяти окружностей. Первая кривая известна как кривая Муссельмана — K 026. Эта кривая проходит также через вершины срединного треугольника и срединного треугольника треугольника Джонсона. Вторая кривая известна как кривая центров Эйлера — K 044. Эта кривая также проходит через шесть точек — основания высот и основания высот треугольника Джонсона.

Обозначение точки X ( i ) принадлежит классификации Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling) в энциклопедии точек треугольника .

Примечания

.
, с. 161—162.

Литература

Roger Arthur Johnson. Modern Geometry:An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. — Houghton: Mifflin Company, 1929.
Roger Arthur Johnson. // American Mathematical Monthly . — 1916. — Вып. 23 .

Ссылки

Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Bernard Gibert от 19 марта 2007 на Wayback Machine
Bernard Gibert
Clark Kimberling, " от 19 апреля 2012 на Wayback Machine ". (Lists some 3000 interesting points associated with any triangle.)