Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона , имеющих ту же самую окружность Эйлера ( окружность девяти точек ), что и исходный остроугольный треугольник.

Пример

Если на показанном рисунке ортоцентр остроугольного треугольника ABC обозначить через T , тогда три треугольника Гамильтона TAB , TBC и TCA имеют общую окружность Эйлера ( окружность девяти точек ).

Ассоциация

Три треугольника Гамильтона в теореме Гамильтона образуют так называемый глаз дракона .

Применение

Теорема Гамильтона используется, как составная часть, в теореме Джонсона (см. рисунок).

Следствия

• Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона , имеющих равные радиусы описанных окружностей.
• Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника. Назовем их окружностями Гамильтона-Джонсона
• Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона имеют три центра J _A , J _B и J _C . Эти три центра образуют вершины треугольника Джонсона ΔJ _A J _B J _C , который равен исходному треугольнику Δ ABC и имеет попарно параллельные с ним стороны ( Теорема Джонсона , см. рисунок).
• Если через вершины исходного треугольника ABC провести прямые, параллельные противоположным сторонам, то получится антидополнительный треугольник , подобный исходному треугольнику ABC , вершины которого P _A , P _B и P _C лежат на трёх окружностях Гамильтона-Джонсона , имеющих равные радиусы (см. рис.).

Замечание 1

Оба следствия немедленно следуют из теоремы Гамильтона , если заметить, что радиус окружности Эйлера равен половине радиуса окружности, описанной около того же треугольника.

Замечание 2

• Для тупоугольного треугольника теорема Гамильтона переформулируется следующим образом. Пусть вне тупоугольного треугольника постороили ортоцентр , как точку пресечения двух его высот, опущенных из вершин двух острых углов на продолжения двух его сторон, и продолжения третьей высоты, проведённой из вершины тупого угла. Тогда ортоцентр и две вершины острых углов образуют остроугольный треугольник, к которому применима теорема Гамильтона. В частности, сам тупоугольный треугольник будет одним из трёх треугольников Гамильтона . Вершинами двух других треугольников Гамильтона служат ортоцентр и вершины двух смежных сторон, образующих тупой угол тупоугольного треугольника.
• Для прямоугольного треугольника ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла, и один треугольник Гамильтона совпадает с самим этим прямоугольным треугольником c верным радиусом (диаметром) описанной окружности . Остальные два треугольника Гамильтона вырождаются в два катета при вершине прямого угла. Через эти два катета (как через треугольник с двумя точками — вершинами) можно провести бесчисленное множество описанных окружностей с диаметрами не меньше длины этих катетов. То есть теорема Гамильтона формально выполняется и в этом предельном случае.

Пример

Если на показанном рисунке ортоцентр остроугольного треугольника ABC обозначить через T , тогда для тупоугольного треугольника TBC ортоцентром будет точка A . Перейдя от тупоугольного треугольника TBC к остроугольному треугольнику ABC , снова можно использовать теорему Гамильтона .

История

Теорема была доказана выдающимся ирландским математиком и физиком XIX века Уильямом (Вильямом) Роуэном Гамильтоном в 1861 г. Гамильтон, Уильям Роуэн (1806—1865) — ирландский математик.

Литература

• Дм. Ефремов. . — 1902. от 2 марта 2005 на Wayback Machine
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М. : Учпедгиз, 1962. — 153 с.
• Уильям Роуэн Гамильтон

См. также

• Треугольник
• Окружность Эйлера
• Окружность девяти точек
• Ортоцентр
• Отрезки и окружности, связанные с треугольником
• Теорема Джонсона