Interested Article - Окружность Ламуна

Окружность Ламуна, проходящая через центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: $A_{b}$ , $A_{c}$ , $B_{c}$ , $B_{a}$ , $C_{a}$ , $C_{b}$

В планиметрии окружность Ламуна — это специальная окружность , которую можно построить в любом треугольнике $T$ . Она содержит центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник $T$ разрезают три его медианы . Пусть для определенности $A$ , $B$ , $C$ — 3 вершины треугольника $T$ , и пусть $G$ — его центроид (пересечение трёх медиан). Пусть $M_{a}$ , $M_{b}$ и $M_{c}$ — середины сторон $BC$ , $CA$ и $AB$ соответственно. Тогда центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: $AGM_{c}$ , $BGM_{c}$ , $BGM_{a}$ , $CGM_{a}$ , $CGM_{b}$ и $AGM_{b}$ , лежат на общей окружности, которая называется окружностью Ламуна ( англ. the van Lamoen circle ).

История

Окружность Ламуна так названа в честь математика Ламуна ( Floor van Lamoen ), который сформулировал это как задачу (проблему) в 2000 г. . Доказательство было предоставлено Кин Я. Ли ( Kin Y. Li ) в 2001 г. ,

Свойства

Центром окружности Ламуна является точка $X(1153)$ в Энциклопедии центров треугольника К. Кимберлинга. В 2003 году Алексей Мякишев и Петер Й. Ву ( Peter Y. Woo ) доказали, что обратное утверждение теоремы почти всегда справедливо в следующем смысле: пусть $P$ — любая точка внутри треугольника, и $AA'$ , $BB'$ и $CC'$ — три его чевианы, то есть отрезки , которые соединяют каждую вершину с $P$ , продолженные до их пересечения с противоположной стороной. Тогда описанные окружности шести треугольников $APB'$ , $APC'$ , $BPC'$ , $BPA'$ , $CPA'$ и $CPB'$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда $P$ является центроидом треугольника $T$ или его ортоцентром (точкой пересечения трёх его высот ). Более простое доказательство этого результата было дано Нгуен Минь Ха ( Nguyen Minh Ha ) в 2005 году.

См. также

Окружность Лестера

Примечание

Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10.
↑ Eric W. Weisstein, van Lamoen circle at Mathworld. Accessed on 2014-10-10.
Kin Y. Li (2001), Concyclic problems. Mathematical Excalibur, volume 6, issue 1, pages 1-2.
Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10
(2002), Solution to Problem 10830. American Mathematical Monthly, volume 109, pages 396—397
Alexey Myakishev and Peter Y. Woo (2003), от 9 августа 2017 на Wayback Machine . Forum Geometricorum, volume 3, pages 57-63.
N. M. Ha (2005), Another Proof of van Lamoen’s Theorem and Its Converse. Forum Geometricorum, volume 5, pages 127—132.