Коника девяти точек полного четырёхугольника — это коническое сечение , проходящее через три диагональные точки и шесть середин сторон полного четырёхугольника.

Коническое сечение девяти точек описал Максим Бохер в 1892 году. Более известная окружность девяти точек является частным случаем коники Бохера. Другой частный случай — .

Определение

Бохер использовал четыре точки полного четырёхугольника как три вершины треугольника и одну независимую точку:

Пусть задан треугольник ABC и точка P на плоскости. Коническое сечение можно провести через следующие девять точек:

середины сторон треугольника ABC ,

середины отрезков, соединяющих P с вершинами треугольника,

точки, где эти прямые, проходящие через P и вершины треугольника, пересекают стороны треугольника.

Свойства

Коническое сечение будет эллипсом , если P лежит внутри треугольника ABC или в одной из областей плоскости, отделённых от внутренности треугольника двумя сторонами. В противном случае коника будет гиперболой . Бохер заметил, что в случае, когда P является ортоцентром , получим окружность девяти точек, а когда P лежит на описанной окружности треугольника ABC , коника будет равнобокой гиперболой.

В 1912 году Мод Минторн показала, что коника девяти точек является геометрическим местом центров конических сечений, проходящих через четыре заданные точки.

См. также

• Теорема о девяти точках на кубической кривой

Литература

• Maxime Bôcher . // Annals of Mathematics . — 1892. — Т. 6 , вып. 5 . — С. 132 .
• Fanny Gates. // Annals of Mathematics . — 1894. — Т. 8 , вып. 6 . — С. 185–8 .
• Maud A. Minthorn. . — Master's dissertation at University of California, Berkeley , 1912.
• Eric W. Weisstein. (неопр.) . MathWorld .
• Michael DeVilliers. // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. — Taylor & Francis , 2006. — Т. 37 , вып. 1 .
• Christopher Bradley. . — University of Bath.

Литература для дальнейшего чтения

• W. G. Fraser. On relations of certain conics to a triangle // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1906. — Т. 25 . — С. 38–41 .
• Thomas F. Hogate. // Annals of Mathematics. — 1894. — Т. 7 . — С. 73–6 .
• P. Pinkerton. On a nine-point conic, etc. // Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. — 1905. — Т. 24 . — С. 31–3 .

Ссылки

• at