Interested Article - Точки Аполлония

Точки Аполлония (иногда изодинамические центры ) — две такие точки, расстояние от которых до вершин треугольника обратно пропорциональны сторонам, которые противолежат этим вершинам.

Свойства

Точки Аполлония это центры инверсии , которые преобразуют данный треугольник в равносторонний треугольник.
Окружности, построенные как на диаметре на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы , выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония .
Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана . Эта прямая называется осью Брокара .
Подерные треугольники точек Аполлония правильные (иногда это свойство принимается за определение).
Последнее свойство можно сформулировать иначе: три ортогональные проекции точек Аполлония на стороны данного треугольника являются вершинами правильного треугольника .
Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли .
Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли , отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан (в центроиде треугольника ).

Окружность и точка Парри. ( G — центроид, а J и K являются точками Аполлония треугольника *ABC* )

Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC , называется окружностью Парри треугольника ABC (на рисунке справа она красная). Она также проходит через точку Парри (красная точка в черном кольце).
Рассмотрим три сферы, касающиеся плоскости в точках $A,B,C$ и друг друга внешним образом. Если радиусы этих сфер равны $x,y,z$ , то $AB={\sqrt {xy}}$ и т. д. Поэтому две сферы касающиеся трёх данных и плоскости, будут касаться плоскости в точках Аполлония .
Кубика Нойберга — множество таких точек $X$ , что $XX'\parallel OH$ — прямой Эйлера (зафиксирована её бесконечно удалённая точка). На этой кубике лежит более 15 замечательных точек, в частности, точки Торричелли, Аполлония , ортоцентр, центр описанной окружности, вершины правильных треугольников, построенных на сторонах (внешним или внутренним образом), точки, симметричные вершинам относительно сторон, две точки Ферма , две изодинамические точки , бесконечную точку Эйлера, а также лежащие на всех кубиках центры вписанной и вневписанных окружностей. В списке кубик плоского треугольника Берхарта Гиберта кубика Нейберга значится как K001 .

См. также

Примечания

Katarzyna Wilczek. The harmonic center of a trilateral and the Apollonius point of a triangle (англ.) // Journal of Mathematics and Applications : journal. — 2010. — Vol. 32 . — P. 95—101 .
K001 at Berhard Gibert’s Cubics in the Triangle Plane // от 20 августа 2009 на Wayback Machine