Ортогональные траектории
— линии, пересекающие заданное
семейство кривых
под прямым углом. Если
y
1
′
{\displaystyle y_{1}'}
—
угловой коэффициент
касательной к ортогональной траектории, а
y
2
′
{\displaystyle y_{2}'}
—
угловой коэффициент
касательной к кривой данного семейства, то
y
1
′
{\displaystyle y_{1}'}
и
y
2
′
{\displaystyle y_{2}'}
должны в каждой точке удовлетворять условию
ортогональности
:
y
1
′
=
−
1
y
2
′
{\displaystyle y_{1}'=-{1 \over y_{2}'}}
Пусть у нас есть семейство кривых
g
(
x
,
y
)
=
C
{\displaystyle g(x,y)=C}
, где
C
{\displaystyle C}
— константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы
дифференциальных уравнений
:
∇
f
(
x
,
y
)
⋅
∇
g
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0}
Используя определение
градиента
, можно записать:
∇
f
(
x
,
y
)
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
)
{\displaystyle \nabla f(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}
Таким образом:
∇
f
(
x
,
y
)
⋅
∇
g
(
x
,
y
)
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
)
⋅
(
∂
g
∂
x
,
∂
g
∂
y
)
=
∂
f
∂
x
⋅
∂
g
∂
x
+
∂
f
∂
y
⋅
∂
g
∂
y
=
0
{\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\cdot \left({\frac {\partial g}{\partial x}},{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}=0}
Примеры
Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением
y
=
k
x
{\displaystyle y=kx}
. Дифференцируя данное уравнение по переменной
x
{\displaystyle x}
, получаем:
y
′
=
k
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle y'=k=\mathrm {const} }
Исключим параметр
k
{\displaystyle k}
из системы:
{
y
=
k
x
y
′
=
k
⇒
y
′
=
y
x
{\displaystyle {\begin{cases}y=kx\\y'=k\end{cases}}\Rightarrow y'={\frac {y}{x}}}
Заменим
y
′
{\displaystyle y'}
на
(
−
1
y
′
)
{\displaystyle \left(-{\frac {1}{y'}}\right)}
:
−
1
y
′
=
y
x
⇒
y
′
=
−
x
y
⇒
d
y
d
x
=
−
x
y
{\displaystyle -{\frac {1}{y'}}={\frac {y}{x}}\Rightarrow y'=-{\frac {x}{y}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}}
Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:
y
d
y
=
−
x
d
x
⇒
∫
y
d
y
=
−
∫
x
d
x
⇒
x
2
2
+
y
2
2
=
C
{\displaystyle ydy=-xdx\Rightarrow \int {ydy}=-\int {xdx}\Rightarrow {\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}=C}
Данное уравнение есть не что иное, как уравнение окружности радиуса
2
C
{\displaystyle {\sqrt {2C}}}
. Действительно:
R
2
=
2
C
⇒
x
2
+
y
2
=
R
2
{\displaystyle R^{2}=2C\Rightarrow x^{2}+y^{2}=R^{2}}
Литература
Эльсгольц Л. Э.
Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)
Ссылки