Interested Article - Интерполяция

О функции, см.: Интерполянт .

Интерполя́ция , интерполи́рование ( от лат. inter–polis — « разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный ») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории .

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки . Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию , на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией . Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и , являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек ( ) из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

  • Точки называют узлами интерполяции , а их совокупность — интерполяционной сеткой .
  • Пары называют точками данных или базовыми точками .
  • Разность между «соседними» значениями шагом интерполяционной сетки . Он может быть как переменным, так и постоянным.
  • Функцию интерполирующей функцией или интерполянтом .

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :

0 0
1 0,8415
2 0,9093
3 0,1411
4 −0,7568
5 −0,9589
6 −0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции ).

6000 15.5
6378 ?
8000 19.2

Способы интерполяции

Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа .

Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами . Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций ( теорема Вейерштрасса ).

Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)

Интерполяция функции нескольких переменных

Другие способы интерполяции

Смежные концепции

См. также

Примечания

  1. , с. 6—7.

Литература

  • Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М. : Мир, 1980. — 264 с.
  • Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М. : Высшая школа , 1971. — 520 c.
  • Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М. : Иностранная литература , 1961. — 508 c.
  • Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М. : Мир , 1980. — 664 c.
Источник —

Same as Интерполяция