Interested Article - Интерполяция
- 2020-12-31
- 1
- О функции, см.: Интерполянт .
Интерполя́ция , интерполи́рование ( от лат. inter–polis — « разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный ») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).
В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории .
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки . Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию , на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией . Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и , являющиеся основой для множества других работ.
Определения
Рассмотрим систему несовпадающих точек ( ) из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:
Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
- Точки называют узлами интерполяции , а их совокупность — интерполяционной сеткой .
- Пары называют точками данных или базовыми точками .
- Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки . Он может быть как переменным, так и постоянным.
- Функцию — интерполирующей функцией или интерполянтом .
Пример
1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :
0 | 0 |
1 | 0,8415 |
2 | 0,9093 |
3 | 0,1411 |
4 | −0,7568 |
5 | −0,9589 |
6 | −0,2794 |
Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).
К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.
2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции ).
6000 | 15.5 |
6378 | ? |
8000 | 19.2 |
Способы интерполяции
Интерполяция методом ближайшего соседа
Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа .
Интерполяция многочленами
На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами . Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций ( теорема Вейерштрасса ).
- Линейная интерполяция
- Интерполяционная формула Ньютона
- Метод конечных разностей
- Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
- Схема Эйткена
- Сплайн -функция
- Кубический сплайн
Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)
Интерполяция функции нескольких переменных
Другие способы интерполяции
Смежные концепции
- Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
- Ретрополяция — методы нахождения по известным значениям переменной её неизвестных значений в начале динамического ряда .
- Аппроксимация — методы построения приближённых кривых
См. также
Примечания
- , с. 6—7.
Литература
- Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М. : Мир, 1980. — 264 с.
- Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М. : Высшая школа , 1971. — 520 c.
- Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М. : Иностранная литература , 1961. — 508 c.
- Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М. : Мир , 1980. — 664 c.
- 2020-12-31
- 1