Ле́мма Лебе́га — даёт полезное свойство открытых покрытий компактных метрических пространств.

Названа в честь французского математика Анри Лебега .

Формулировка

Для любого открытого покрытия ${\displaystyle P}$ компактного метрического пространства ${\displaystyle X}$ существует число ${\displaystyle \lambda >0}$ такое, что любое подмножество диаметра ${\displaystyle <\lambda }$ в ${\displaystyle X}$ содержится хотя бы в одном элементе покрытия ${\displaystyle P}$ .

Замечания

• Число ${\displaystyle \lambda }$ называется числом Лебега покрытия ${\displaystyle P}$ .
• Для некомпактных метрических пространств это утверждение неверно, возможно даже построить двухэлементное покрытие вещественной прямой , для которого нет ни одного числа Лебега.