Interested Article - Теорема о точках плотности
![](/images/006/698/6698788/1.jpg?rand=37081)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/9d073c780a69d781469f750027a9ff5e.gif)
- 2020-09-29
- 1
Теорема о точках плотности — результат теории меры , которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.
Формулировка
Обозначим через меру Лебега на евклидовом пространстве . Пусть — измеримое множество. Для произвольной точки и рассмотрим значение
- ,
где обозначает шар с центром в и радиусом . Величина может интерпретироваться как приблизительная плотность множества в точке .
Тогда, для почти каждой точки ,
существует и равен 0 или 1.
Замечания
- Величина , если определена, называется плотностью множества в точке .
- Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества принимает значение 0 или 1 почти всюду в .
- Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.
Примеры
Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.
Вариации и обобщения
- Теорема о точках плотности является частным случаем .
Литература
- Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. — М. , 1974.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/9d073c780a69d781469f750027a9ff5e.gif)
- 2020-09-29
- 1